中国人民大学 2026年高等代数第4题

将向量组按列排成矩阵 $A$： $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 进行初等行变换： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 6 & 0 \\ 1 & -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_2+r_1, r_3-2r_1, r_4-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_4 \leftrightarrow r_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_5 - \frac{1}{3}r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

继续行变换得到行最简形： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{4}r_2, \frac{1}{3}r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-3r_3, r_2-r_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-2r_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

行最简形中主元列对应第1、2、3列，故极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。第4列系数为 $(-1, -1, 1)^T$，因此 $\alpha_4 = -\alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3$。

要求一个齐次线性方程组，其基础解系为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$。即方程组 $Ax=0$ 的解空间由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 张成，故 $A$ 的行向量与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 正交。设 $A$ 为 $2 \times 5$ 矩阵（因为基础解系有3个向量，解空间维数为3，故方程个数为 $5-3=2$），其行向量满足： $$\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 - 2x_2 + 4x_3 - 2x_4 = 0 \\ 3x_1 + 0x_2 + 6x_3 - x_4 + x_5 = 0 \end{cases}.$$

上述方程组中第二个方程是第一个的2倍，可去掉，化简得： $$\begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ 3x_1 + 6x_3 - x_4 + x_5 = 0 \end{cases}.$$ 这就是所求的齐次线性方程组。

验证 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是否满足方程组：代入 $\alpha_1=(1,-1,2,1,0)$，第一个方程 $1-(-1)+2\cdot2+1=1+1+4+1=7\neq0$？检查发现原方程组有误。实际上，应重新推导：设 $A$ 的行向量与 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 正交，即解 $\alpha_i^T y = 0$，其中 $y$ 是行向量。将 $\alpha_i$ 作为列向量，求其零空间。即解 $\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix} y = 0$。对矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 4 & -2 & 0 \\ 3 & 0 & 6 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ 行化简： $$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -4 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$ 所以方程组为： $$\begin{cases} x_1 + 2x_3 + \frac{1}{3}x_5 = 0 \\ x_2 + \frac{1}{3}x_5 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases}.$$ 取整系数，乘以3得： $$\begin{cases} 3x_1 + 6x_3 + x_5 = 0 \\ 3x_2 + x_5 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases}.$$ 这就是所求的齐次线性方程组。