中国人民大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 个不同的数，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $P$ 上的任意 $m$ 个数，对于任一多项式 $\displaystyle p(x)$ ，我们记 $\displaystyle \partial(p(x))$ 为其次数．证明：存在唯一的多项式 $\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \partial(g(x))<m$ ，且对任意的 $\displaystyle 1 \leq i \leq m$ ，我们有 $\displaystyle g(x)=q_{i}(x)\left(x-a_{i}\right)+b_{i}$ ，其中 $\displaystyle q_{i}(x) \in P[x]$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与目标
题目要求证明存在唯一的多项式 $g(x) \in P[x]$，满足 $\partial(g(x)) < m$，且对每个 $i$，$g(x) = q_i(x)(x - a_i) + b_i$，其中 $q_i(x) \in P[x]$。这等价于 $g(a_i) = b_i$，因为 $g(x) - b_i$ 能被 $(x - a_i)$ 整除。因此，问题转化为求一个次数小于 $m$ 的多项式，在 $m$ 个不同点 $a_i$ 上取给定值 $b_i$。
提示：注意条件 $\partial(g(x)) < m$ 和 $g(a_i) = b_i$ 的等价性。
步骤 2/6
目标：存在性：构造拉格朗日插值多项式
令 $g(x) = \sum_{i=1}^m b_i \prod_{j \neq i} \frac{x - a_j}{a_i - a_j}$。这是一个次数不超过 $m-1$ 的多项式，因此 $\partial(g(x)) \leq m-1 < m$。对于每个 $i$，当 $x = a_i$ 时，乘积项中只有 $j = i$ 的项非零，且值为 $b_i$，故 $g(a_i) = b_i$。
公式：拉格朗日插值公式：$g(x) = \sum_{i=1}^m b_i \prod_{j \neq i} \frac{x - a_j}{a_i - a_j}$
提示：注意分母 $a_i - a_j$ 非零，因为 $a_i$ 互不相同。
步骤 3/6
目标：验证存在性条件
由于 $g(a_i) = b_i$，则 $g(x) - b_i$ 以 $a_i$ 为根，因此存在多项式 $q_i(x)$ 使得 $g(x) - b_i = (x - a_i) q_i(x)$，即 $g(x) = q_i(x)(x - a_i) + b_i$。这满足题目要求。
公式：因式定理：若 $f(a)=0$，则 $(x-a) \mid f(x)$
提示：确保 $q_i(x)$ 是多项式，因为 $P[x]$ 是整环。
步骤 4/6
目标：唯一性：假设两个多项式满足条件
假设存在两个多项式 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$ 都满足条件，则令 $h(x) = g_1(x) - g_2(x)$。由于 $\partial(g_1) < m$ 且 $\partial(g_2) < m$，有 $\partial(h) < m$。又因为对每个 $i$，$g_1(a_i) = b_i$ 且 $g_2(a_i) = b_i$，所以 $h(a_i) = 0$。
提示：注意次数性质：$\partial(f \pm g) \leq \max(\partial f, \partial g)$。
步骤 5/6
目标：利用根与次数的关系证明唯一性
$h(x)$ 有 $m$ 个不同的根 $a_1, a_2, \dots, a_m$，但 $\partial(h) < m$。在数域 $P$ 上，一个非零多项式最多有 $\partial(h)$ 个根（重根按重数计）。因此 $h(x)$ 只能是零多项式，即 $h(x) \equiv 0$，从而 $g_1(x) = g_2(x)$。
公式：多项式根的性质：非零多项式 $f(x)$ 在域上至多有 $\partial(f)$ 个根（计重数）。
提示：注意 $a_i$ 互不相同，且域 $P$ 是数域，无零因子。
步骤 6/6
目标：总结结论
存在性由拉格朗日插值多项式给出，唯一性由根与次数的关系保证。因此，存在唯一的多项式 $g(x)$ 满足条件，即拉格朗日插值多项式。
提示：唯一性依赖于 $a_i$ 互异和次数限制。
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