北京工业大学 2023年高等代数第2题
📝 题目
2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式．
（1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系．
（2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件与目标
题目给出 $n$ 阶方阵 $A$，$A_k$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行得到的 $(n-1)\times n$ 矩阵，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
(1) 已知 $|A|\neq 0$，要证 $(A_{k1},A_{k2},\dots,A_{kn})^T$ 是 $A_k X=0$ 的基础解系。
(2) 已知 $|A|=0$ 且 $A_{kl}\neq 0$，要证 $(A_{k1},A_{k2},\dots,A_{kn})^T$ 是 $AX=0$ 的基础解系。
提示：注意区分两个小问的条件和结论，避免混淆。
步骤 2/6
目标：证明(1)中 $A_k$ 的秩为 $n-1$
因为 $|A|\neq 0$，所以 $A$ 可逆，行向量线性无关。$A_k$ 由 $A$ 去掉第 $k$ 行得到，故 $A_k$ 的行向量组是 $A$ 的行向量组去掉一个向量，仍然线性无关，所以 $\operatorname{rank}(A_k)=n-1$。
公式：$\operatorname{rank}(A_k)=n-1$
提示：注意 $A_k$ 是 $(n-1)\times n$ 矩阵，行满秩。
步骤 3/6
目标：确定(1)中解空间维数并验证解向量
齐次线性方程组 $A_k X=0$ 的解空间维数为 $n-\operatorname{rank}(A_k)=1$。令 $\alpha=(A_{k1},A_{k2},\dots,A_{kn})^T$。由行列式按第 $k$ 行展开定理，对于 $i\neq k$，有 $\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}=0$（因为这是将第 $k$ 行替换为第 $i$ 行后行列式的值，两行相同，行列式为0）。而 $\sum_{j=1}^n a_{kj}A_{kj}=|A|\neq 0$，所以 $A_k\alpha=0$ 且 $\alpha\neq 0$。因此 $\alpha$ 是 $A_k X=0$ 的一个非零解，构成基础解系。
公式：$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}=\delta_{ik}|A|$
提示：注意 $\delta_{ik}$ 是克罗内克符号，当 $i=k$ 时为1，否则为0。
步骤 4/6
目标：证明(2)中 $A$ 的秩为 $n-1$
已知 $|A|=0$ 且 $A_{kl}\neq 0$，则 $A$ 有一个 $n-1$ 阶子式非零（即代数余子式 $A_{kl}$ 对应的子式），所以 $\operatorname{rank}(A)\geq n-1$。又 $|A|=0$，故 $\operatorname{rank}(A)
公式：$\operatorname{rank}(A)=n-1$
提示：代数余子式非零意味着对应的 $n-1$ 阶子式非零。
步骤 5/6
目标：确定(2)中解空间维数并验证解向量
齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间维数为 $n-\operatorname{rank}(A)=1$。令 $\beta=(A_{k1},A_{k2},\dots,A_{kn})^T$。由行列式性质，对于任意 $i$，有 $\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}=\delta_{ik}|A|=0$（因为 $|A|=0$），所以 $A\beta=0$。又 $A_{kl}\neq 0$，故 $\beta\neq 0$。因此 $\beta$ 是 $AX=0$ 的一个非零解，构成基础解系。
公式：$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}=0$
提示：注意这里 $|A|=0$，所以对任意 $i$ 都有 $\sum a_{ij}A_{kj}=0$。
步骤 6/6
目标：总结两个小问的结论
综上所述，
(1) 当 $|A|\neq 0$ 时，$(A_{k1},\dots,A_{kn})^T$ 是 $A_k X=0$ 的基础解系；
(2) 当 $|A|=0$ 且 $A_{kl}\neq 0$ 时，$(A_{k1},\dots,A_{kn})^T$ 是 $AX=0$ 的基础解系。
提示：注意两个小问中解空间维数都是1，所以非零解即为基础解系。
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