北京工业大学 2025年高等代数第2题

计算矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式 $f(\lambda) = |\lambda \mathbf{E} - \mathbf{A}|$： $$f(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-3 & -2 & 2 \\ k & \lambda+1 & -k \\ -4 & -2 & \lambda+3\end{vmatrix}$$

按第一行展开并化简： $$\begin{aligned} f(\lambda) &= (\lambda-3)[(\lambda+1)(\lambda+3)-2k] - (-2)[k(\lambda+3)+4k] + 2[-2k+4(\lambda+1)] \\ &= (\lambda-3)(\lambda^2+4\lambda+3-2k) + 2(k\lambda+7k) + 2(4\lambda+4-2k) \\ &= \lambda^3+\lambda^2-\lambda+16k-1 \end{aligned}$$

矩阵可对角化当且仅当每个特征值的代数重数等于几何重数。特征多项式 $f(\lambda)=\lambda^3+\lambda^2-\lambda+16k-1$ 的导数为 $f'(\lambda)=3\lambda^2+2\lambda-1$。令 $f'(\lambda)=0$ 得 $\lambda=\frac{1}{3}$ 或 $\lambda=-1$。若存在重根，则需满足 $f(\lambda)=0$。

分别代入可能的重根： - 若 $\lambda=-1$ 为重根，则 $f(-1)=0$ 得 $k=0$； - 若 $\lambda=\frac{1}{3}$ 为重根，则 $f(\frac{1}{3})=0$ 得 $k=\frac{2}{27}$。 验证可对角化： - $k=0$ 时，特征多项式 $f(\lambda)=(\lambda+1)^2(\lambda-1)$，$\lambda=-1$ 二重根，几何重数计算得2，可对角化； - $k=\frac{2}{27}$ 时，$\lambda=\frac{1}{3}$ 二重根，几何重数为1，不可对角化。 故 $k=0$。

当 $k=0$ 时，$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3\end{pmatrix}$。特征值 $\lambda_1=1$（单根），$\lambda_2=\lambda_3=-1$（二重根）。 - 对于 $\lambda=1$，解 $(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{x}=0$，得基础解系 $\alpha_1=(1,0,1)^\mathrm{T}$。 - 对于 $\lambda=-1$，解 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{x}=0$，得基础解系 $\alpha_2=(1,0,2)^\mathrm{T}$，$\alpha_3=(0,1,1)^\mathrm{T}$。

令 $\mathbf{P}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{pmatrix}$，则 $\mathbf{P}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$。