📝 北京工业大学 2025年高等代数真题
第1题
1、计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a^{2}+b^{2} & a^{2} b^{2} & \cdots & 0 \\ 1 & a^{2}+b^{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a^{2} b^{2} \\ 0 & \cdots & 1 & a^{2}+b^{2}\end{array}\right|$ ．
第2题
2、设 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ，且存在可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．
（1）求 $k$ 的值．
（2）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 以及相应的对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ ．
（1）求 $k$ 的值．
（2）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ 以及相应的对角矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ ．
第3题
3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| \neq 0
$$
$$
\left|\begin{array}{ccc}
\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| \neq 0
$$
第4题
4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明：
$$
\lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n)
$$
其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中
$$
Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}
$$
$$
\lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n)
$$
其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中
$$
Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}
$$
第5题
5、解答如下问题：
（1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ．
（2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．
（1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ．
（2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．
第6题
6、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=A+2025 B$ ，证明：
（1）$\displaystyle r(A)+r(B) \leq r(A B)+n$ ．
（2）$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．
（1）$\displaystyle r(A)+r(B) \leq r(A B)+n$ ．
（2）$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．
第7题
7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有
$$
(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)),
$$
则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明：
（1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置．
（2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．
$$
(\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)),
$$
则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明：
（1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置．
（2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．