北京工业大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是：
$$
\left|\begin{array}{ccc}
\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| \neq 0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义Gram矩阵
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，定义Gram矩阵 $G = (g_{ij})$，其中 $g_{ij} = (\alpha_i, \alpha_j)$，即内积。则 $G$ 是一个 $n \times n$ 实对称矩阵。
公式：G = ( (\alpha_i, \alpha_j) )_{n \times n}
提示：注意内积的对称性：$(\alpha_i, \alpha_j) = (\alpha_j, \alpha_i)$，因此 $G$ 是对称矩阵。
步骤 2/5
目标：建立二次型与向量模长的关系
对于任意向量 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n$，计算二次型 $x^T G x$：
$$x^T G x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i x_j (\alpha_i, \alpha_j) = \left( \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i, \sum_{j=1}^n x_j \alpha_j \right) = \left\| \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i \right\|^2 \geq 0.$$
因此 $G$ 是半正定矩阵。
公式：x^T G x = \left\| \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i \right\|^2
提示：注意二次型等于向量线性组合的模长的平方，这体现了内积的正定性。
步骤 3/5
目标：必要性证明：线性无关推出行列式非零
假设 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关。则对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $\sum_{i=1}^n x_i \alpha_i \neq 0$，从而 $x^T G x = \left\| \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i \right\|^2 > 0$。因此 $G$ 正定，正定矩阵的行列式大于0，故 $\det G \neq 0$。
提示：正定矩阵的所有顺序主子式大于0，特别地行列式大于0。
步骤 4/5
目标：充分性证明：行列式非零推出线性无关（反证法）
假设 $\det G \neq 0$，但 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性相关。则存在非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$ 使得 $\sum_{i=1}^n x_i \alpha_i = 0$。代入二次型得 $x^T G x = 0$。由于 $G$ 半正定且 $\det G \neq 0$，可推出 $G$ 正定（因为半正定矩阵行列式为0当且仅当有零特征值，而 $\det G \neq 0$ 意味着所有特征值非负且乘积非零，故所有特征值大于0，即正定）。但正定矩阵满足 $x^T G x > 0$ 对任意非零 $x$，与 $x^T G x = 0$ 矛盾。因此 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关。
提示：注意：半正定矩阵行列式为零当且仅当矩阵奇异（有零特征值）。因此 $\det G \neq 0$ 可推出 $G$ 正定。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
综合必要性和充分性，$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关当且仅当 Gram 矩阵的行列式 $\det G \neq 0$。即
$$\left|\begin{array}{ccc}
(\alpha_1, \alpha_1) & \cdots & (\alpha_1, \alpha_n) \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
(\alpha_n, \alpha_1) & \cdots & (\alpha_n, \alpha_n)
\end{array}\right| \neq 0.$$
公式：\det G \neq 0
提示：注意：该结论在欧氏空间中成立，内积是标准内积。
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