北京工业大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明：
$$
\lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n)
$$
其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中
$$
Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：引入Rayleigh商和特征向量
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，特征值为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n$，对应的标准正交特征向量为 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n$，即 $A\xi_i = \lambda_i \xi_i$，且 $(\xi_i, \xi_j) = \delta_{ij}$。对于任意非零向量 $X \in \mathbb{R}^n$，定义 Rayleigh 商：$$R(X) = \frac{(AX, X)}{(X, X)}.$$ 我们需要证明：$$\lambda_k = \min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} R(X), \quad k=1,2,\ldots,n.$$
公式：R(X) = \frac{(AX, X)}{(X, X)}
提示：注意特征向量是标准正交的，即内积为0或1。
步骤 2/4
目标：证明左边 ≤ 右边：构造特定子空间
取子空间 $S_0 = \text{span}\{\xi_k, \xi_{k+1}, \ldots, \xi_n\}$，则 $\dim S_0 = n-k+1$。对于任意 $X \in S_0$，设 $X = \sum_{i=k}^n c_i \xi_i$，则 $$(AX, X) = \sum_{i=k}^n \lambda_i c_i^2 \leq \lambda_k \sum_{i=k}^n c_i^2 = \lambda_k (X, X),$$ 所以 $\max_{X \in S_0, X \neq 0} R(X) \leq \lambda_k$。因此 $$\min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} R(X) \leq \lambda_k.$$
公式：(AX, X) = \sum_{i=k}^n \lambda_i c_i^2
提示：注意不等式方向：由于 $\lambda_i \leq \lambda_k$ 对 $i \geq k$ 成立，所以和式 ≤ $\lambda_k$ 乘以范数平方。
步骤 3/4
目标：证明左边 ≥ 右边：利用子空间交非零
设 $S$ 是任意 $n-k+1$ 维子空间。考虑子空间 $T = \text{span}\{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_k\}$，则 $\dim T = k$。由于 $\dim S + \dim T = (n-k+1) + k = n+1 > n$，所以 $S \cap T \neq \{0\}$。取非零向量 $X \in S \cap T$，则 $X = \sum_{i=1}^k c_i \xi_i$，且 $$R(X) = \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i c_i^2}{\sum_{i=1}^k c_i^2} \geq \lambda_k.$$ 因此 $\max_{X \in S, X \neq 0} R(X) \geq \lambda_k$。由于 $S$ 是任意的，所以 $$\min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} R(X) \geq \lambda_k.$$
公式：R(X) = \frac{\sum_{i=1}^k \lambda_i c_i^2}{\sum_{i=1}^k c_i^2}
提示：注意 $S \cap T$ 非零的维数论证：两个子空间维数之和大于全空间维数时必有非零交。
步骤 4/4
目标：综合两个不等式得到等式
由步骤2和步骤3，我们得到：$$\lambda_k \leq \min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} R(X) \quad \text{和} \quad \lambda_k \geq \min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} R(X).$$ 因此等式成立：$$\lambda_k = \min_{\dim S = n-k+1} \max_{X \in S, X \neq 0} \frac{(AX, X)}{(X, X)}, \quad k=1,2,\ldots,n.$$
提示：注意两个不等式方向相反，所以相等。
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