北京工业大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5、解答如下问题：
（1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ．
（2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：问题（1）必要性证明：由正定推出B列满秩
设 $\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ 正定，则对任意非零 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} > 0$，即 $(\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x}) > 0$。由于 $\mathbf{A}$ 正定，若 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0}$，则二次型为零，矛盾。故 $\mathbf{B} \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，即 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解，所以 $\mathbf{B}$ 的列线性无关，$r(\mathbf{B}) = n$。
公式：$\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} = (\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x})$
提示：注意正定性要求对任意非零向量二次型大于零，因此必须排除 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的情况。
步骤 2/4
目标：问题（1）充分性证明：由B列满秩推出正定
若 $r(\mathbf{B}) = n$，则 $\mathbf{B}$ 列满秩，对任意非零 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{B} \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$。由于 $\mathbf{A}$ 正定，$(\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x}) > 0$，即 $\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} > 0$。又 $\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ 显然对称，故正定。
公式：$\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} = (\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x})$
提示：对称性容易验证，但不要忘记说明。
步骤 3/4
目标：问题（2）必要性证明：半正定矩阵分解为B^T B
设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实对称半正定矩阵，秩为 $r$。则存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 使得 $\mathbf{A} = \mathbf{Q} \begin{pmatrix} \Lambda_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{Q}^T$，其中 $\Lambda_r = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_r)$，$\lambda_i > 0$。令 $\mathbf{D} = \begin{pmatrix} \sqrt{\Lambda_r} & 0 \end{pmatrix}$ 为 $r \times n$ 矩阵，则 $\mathbf{A} = \mathbf{Q} \mathbf{D}^T \mathbf{D} \mathbf{Q}^T = (\mathbf{D} \mathbf{Q}^T)^T (\mathbf{D} \mathbf{Q}^T)$。取 $\mathbf{B} = \mathbf{D} \mathbf{Q}^T$，则 $\mathbf{B}$ 是 $r \times n$ 矩阵，且 $r(\mathbf{B}) = r$（因为 $\mathbf{D}$ 行满秩，$\mathbf{Q}^T$ 可逆），故 $\mathbf{B}$ 行满秩，且 $\mathbf{A} = \mathbf{B}^T \mathbf{B}$。
公式：$\mathbf{A} = \mathbf{Q} \begin{pmatrix} \Lambda_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{Q}^T$
提示：注意 $\mathbf{D}$ 是 $r \times n$ 矩阵，$\sqrt{\Lambda_r}$ 是对角元为正的对角矩阵。
步骤 4/4
目标：问题（2）充分性证明：由B行满秩推出半正定且秩为r
若存在 $r \times n$ 行满秩矩阵 $\mathbf{B}$ 使得 $\mathbf{A} = \mathbf{B}^T \mathbf{B}$，则对任意 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} = \|\mathbf{B} \mathbf{x}\|^2 \geq 0$，故 $\mathbf{A}$ 半正定。又 $r(\mathbf{A}) = r(\mathbf{B}^T \mathbf{B}) = r(\mathbf{B}) = r$，所以秩为 $r$。
公式：$\mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} = \|\mathbf{B} \mathbf{x}\|^2$
提示：注意 $\mathbf{B}$ 行满秩保证 $\mathbf{B}^T \mathbf{B}$ 的秩等于 $\mathbf{B}$ 的秩。
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