北京工业大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1、计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a^{2}+b^{2} & a^{2} b^{2} & \cdots & 0 \\ 1 & a^{2}+b^{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a^{2} b^{2} \\ 0 & \cdots & 1 & a^{2}+b^{2}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别行列式结构并建立递推关系
该行列式是 $n$ 阶三对角行列式，主对角线元素均为 $a^2+b^2$，上次对角线元素均为 $a^2 b^2$，下次对角线元素均为 $1$。按第一行展开，得到递推关系：
$$D_n = (a^2+b^2) D_{n-1} - a^2 b^2 D_{n-2},$$
其中 $D_1 = a^2+b^2$，$D_2 = \begin{vmatrix} a^2+b^2 & a^2 b^2 \\ 1 & a^2+b^2 \end{vmatrix} = (a^2+b^2)^2 - a^2 b^2 = a^4 + a^2 b^2 + b^4$。
公式：$$D_n = (a^2+b^2) D_{n-1} - a^2 b^2 D_{n-2}$$
提示：注意展开时符号：第一行第一个元素乘 $D_{n-1}$，第一行第二个元素乘 $(-1)^{1+2}$ 和余子式，余子式是下三角行列式，值为 $a^2 b^2 D_{n-2}$。
步骤 2/7
目标：求解递推关系的特征方程
递推关系对应的特征方程为 $r^2 - (a^2+b^2) r + a^2 b^2 = 0$。解得特征根 $r_1 = a^2$，$r_2 = b^2$。
公式：$$r^2 - (a^2+b^2) r + a^2 b^2 = 0$$
提示：特征方程由递推关系直接写出，注意系数符号。
步骤 3/7
目标：分情况讨论：$a^2 \neq b^2$ 时求通解
当 $a^2 \neq b^2$ 时，通解形式为 $D_n = C_1 a^{2n} + C_2 b^{2n}$。代入初始条件 $n=1,2$：
$$\begin{cases} C_1 a^2 + C_2 b^2 = a^2+b^2 \\ C_1 a^4 + C_2 b^4 = a^4 + a^2 b^2 + b^4 \end{cases}$$
解方程组得 $C_1 = \frac{a^2}{a^2-b^2}$，$C_2 = \frac{b^2}{b^2-a^2}$。
公式：$$D_n = C_1 a^{2n} + C_2 b^{2n}$$
提示：解方程组时，可先相减消去 $C_2$ 或 $C_1$，注意分母不为零。
步骤 4/7
目标：得到 $a^2 \neq b^2$ 时的最终表达式
将 $C_1, C_2$ 代入通解，化简得：
$$D_n = \frac{a^2}{a^2-b^2} a^{2n} + \frac{b^2}{b^2-a^2} b^{2n} = \frac{a^{2n+2} - b^{2n+2}}{a^2 - b^2}.$$
公式：$$D_n = \frac{a^{2n+2} - b^{2n+2}}{a^2 - b^2}$$
提示：注意分子是 $a^{2n+2} - b^{2n+2}$，分母是 $a^2 - b^2$，不要写反。
步骤 5/7
目标：分情况讨论：$a^2 = b^2$ 时求通解
当 $a^2 = b^2$ 时，特征方程有重根 $r = a^2$，通解形式为 $D_n = (C_1 + C_2 n) a^{2n}$。代入初始条件 $n=1,2$：
$$\begin{cases} (C_1 + C_2) a^2 = 2a^2 \\ (C_1 + 2C_2) a^4 = 3a^4 \end{cases}$$
解得 $C_1 = 1$，$C_2 = 1$。
公式：$$D_n = (C_1 + C_2 n) a^{2n}$$
提示：注意 $a^2 = b^2$ 时 $D_2 = a^4 + a^2 a^2 + a^4 = 3a^4$。
步骤 6/7
目标：得到 $a^2 = b^2$ 时的最终表达式
代入 $C_1, C_2$ 得：
$$D_n = (1 + n) a^{2n} = (n+1) a^{2n}.$$
公式：$$D_n = (n+1) a^{2n}$$
提示：注意 $a^{2n}$ 的指数，不要漏掉。
步骤 7/7
目标：综合两种情况，给出最终答案
综上，行列式 $D_n$ 的值为：
$$D_n = \begin{cases} \dfrac{a^{2n+2} - b^{2n+2}}{a^2 - b^2}, & a^2 \neq b^2, \\ (n+1) a^{2n}, & a^2 = b^2. \end{cases}$$
提示：注意两种情况的分界条件，不要遗漏。
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