北京工业大学 2025年高等代数第7题

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．