北京工业大学 2026年高等代数第4题
📝 题目
4．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。
（2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明存在可逆矩阵P使A和B同时对角化
由于$A$是正定实对称矩阵，存在可逆矩阵$Q$使得$Q^\mathrm{T} A Q = I$（单位矩阵）。令$C = Q^\mathrm{T} B Q$，则$C$是实对称矩阵。存在正交矩阵$R$使得$R^\mathrm{T} C R = \Lambda$为对角矩阵。取$P = QR$，则$P$可逆，且$P^\mathrm{T} A P = R^\mathrm{T} (Q^\mathrm{T} A Q) R = R^\mathrm{T} I R = I$，$P^\mathrm{T} B P = R^\mathrm{T} (Q^\mathrm{T} B Q) R = R^\mathrm{T} C R = \Lambda$，即$P^\mathrm{T} A P$和$P^\mathrm{T} B P$同时为对角矩阵。
公式：Q^\mathrm{T} A Q = I, \quad R^\mathrm{T} C R = \Lambda
提示：注意$Q$的存在性依赖于$A$的正定性；$C$的对称性保证其可正交对角化。
步骤 2/5
目标：展开二次型并写出矩阵
展开二次型$f(x_1,x_2,x_3) = (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2$得：$f = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_2x_3 - 2x_3x_1$。因此矩阵为$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：f = \mathbf{x}^\mathrm{T} A \mathbf{x}
提示：注意交叉项系数要除以2，因为$i \neq j$时$a_{ij}$是$x_i x_j$系数的一半。
步骤 3/5
目标：求特征值
计算特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-1)^2(\lambda-4)$。特征值为$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 4$。
公式：\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^2(\lambda-4)
提示：计算行列式时，可先将各行加到第一行，再提取公因子。
步骤 4/5
目标：求特征向量并正交化
对于$\lambda=1$，解$(I-A)x=0$得$x_1+x_2+x_3=0$，取基础解系$\alpha_1 = (1,-1,0)^\mathrm{T}$，$\alpha_2 = (1,1,-2)^\mathrm{T}$，已正交。单位化得$\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^\mathrm{T}$，$\eta_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^\mathrm{T}$。对于$\lambda=4$，解$(4I-A)x=0$得$x_1=x_2=x_3$，取$\alpha_3 = (1,1,1)^\mathrm{T}$，单位化得$\eta_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^\mathrm{T}$。
公式：\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^\mathrm{T}, \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^\mathrm{T}, \eta_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^\mathrm{T}
提示：不同特征值的特征向量自动正交，但同一特征值的特征向量需正交化。
步骤 5/5
目标：构造正交变换并写出标准型
构造正交矩阵$P = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$，则正交线性替换$x = Py$化二次型为标准型$f = y_1^2 + y_2^2 + 4y_3^2$。由于特征值全为正，该二次型正定。
公式：f = y_1^2 + y_2^2 + 4y_3^2
提示：标准型中系数为特征值，注意顺序与特征向量对应。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。