北京工业大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $P$ 是一个数域，记 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量
$$
\alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(0,3,2,1)^{\mathrm{T}}
$$
生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，记 $\displaystyle V_{2}$ 是由向量
$$
\beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}}
$$
生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，分别求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}, V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立交空间向量满足的方程组
设 $\xi \in V_1 \cap V_2$，则存在数 $k_1, k_2, k_3$ 和 $l_1, l_2$ 使得 $\xi = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$。移项得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 - l_1\beta_1 - l_2\beta_2 = 0$。代入向量坐标得到齐次线性方程组：
$$
\begin{cases}
k_1 - k_2 - 2l_1 - l_2 = 0 \\
2k_1 + k_2 + 3k_3 + l_1 + l_2 = 0 \\
k_1 + k_2 + 2k_3 - 3l_2 = 0 \\
k_2 + k_3 - l_1 - 7l_2 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意移项时符号不要出错，特别是 $\beta_1, \beta_2$ 的系数为负。
步骤 2/5
目标：化简方程组求通解
写出系数矩阵并化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & -2 & -1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 0 & -3 \\
0 & 1 & 1 & -1 & -7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得到等价方程组：
$$
\begin{cases}
k_1 + k_3 - 2l_2 = 0 \\
k_2 + k_3 - l_2 = 0 \\
l_1 + 2l_2 = 0
\end{cases}
$$
提示：行变换要仔细，确保化为行最简形。自由变量通常选最后一个非主元列对应的变量。
步骤 3/5
目标：写出交空间向量表达式
取 $l_2$ 为自由变量，令 $l_2 = t$，则 $l_1 = -2t$，$k_2 = -k_3 + t$，$k_1 = -k_3 + 2t$。代入 $\xi = l_1\beta_1 + l_2\beta_2$ 得：
$$
\xi = -2t\beta_1 + t\beta_2 = t(-2\beta_1 + \beta_2) = t\left((-4,2,0,-2)^T + (1,-1,3,7)^T\right) = t(-3,1,3,5)^T.
$$
因此 $V_1 \cap V_2$ 由向量 $\gamma = (-3,1,3,5)^T$ 生成，维数为1，一组基为 $\{\gamma\}$。
提示：注意 $\xi$ 也可以从 $\alpha$ 表示，但用 $\beta$ 表示更简单。最终结果要化简。
步骤 4/5
目标：求 $V_1+V_2$ 的维数和基
$V_1+V_2 = L(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2)$。将五个向量排成矩阵并化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 & -1 & -1 \\
1 & 1 & 2 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 7
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{行变换}}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
非零行数为3，故 $\dim(V_1+V_2)=3$。一组基可取主元列对应的原向量：$\alpha_1, \alpha_2, \beta_1$。
提示：注意行最简形中主元列对应原矩阵的列向量，不要取错。基的选取不唯一，但个数等于维数。
步骤 5/5
目标：验证基的线性无关性
检查 $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1$ 是否线性无关。设 $c_1\alpha_1 + c_2\alpha_2 + c_3\beta_1 = 0$，即
$$
c_1(1,2,1,0)^T + c_2(-1,1,1,1)^T + c_3(2,-1,0,1)^T = (0,0,0,0)^T.
$$
解得 $c_1=c_2=c_3=0$，故线性无关，可作为 $V_1+V_2$ 的一组基。
提示：验证线性无关可解方程组或计算行列式（若向量个数等于维数）。
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