华东师范大学 2014年高等代数第8题
📝 题目
8．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是一个幂零矩阵（即，存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ），定义矩阵
$\displaystyle \exp (A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}$ 。证明： $\displaystyle \exp (A)$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \exp (A)^{-1}=\exp (-A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用幂零性将无穷级数化为有限和
由于 $A$ 是幂零矩阵，存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$。那么对于任意 $k \geq m$，有 $A^k = 0$。因此，指数级数 $\exp(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}$ 实际上只有前 $m$ 项非零，即 $\exp(A) = \sum_{k=0}^{m-1} \frac{A^k}{k!}$，这是一个有限和，所以 $\exp(A)$ 是良定义的矩阵。
公式：$\exp(A) = \sum_{k=0}^{m-1} \frac{A^k}{k!}$
提示：注意 $m$ 是使得 $A^m=0$ 的最小正整数，但这里只需存在某个 $m$ 即可。
步骤 2/5
目标：考虑乘积 $\exp(A)\exp(-A)$
为了证明 $\exp(A)$ 可逆且逆为 $\exp(-A)$，我们计算 $\exp(A)\exp(-A)$。由于 $A$ 与 $-A$ 可交换（因为 $A(-A)=(-A)A=-A^2$），根据矩阵指数的乘法性质，当两个矩阵可交换时，有 $\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B)$。因此，
公式：$\exp(A)\exp(B)=\exp(A+B)$ 当 $AB=BA$
提示：矩阵指数的乘法性质成立的条件是矩阵可交换，需要验证。
步骤 3/5
目标：应用乘法性质计算乘积
令 $B=-A$，则 $A$ 与 $B$ 可交换，所以 $\exp(A)\exp(-A) = \exp(A+(-A)) = \exp(0)$。而 $\exp(0) = I$，其中 $0$ 是零矩阵，$I$ 是单位矩阵。
公式：$\exp(0)=I$
提示：零矩阵的指数是单位矩阵，因为 $\exp(0)=\sum_{k=0}^\infty 0^k/k! = I + 0 + 0 + \cdots = I$。
步骤 4/5
目标：同理计算另一侧乘积
类似地，$\exp(-A)\exp(A) = \exp(-A+A) = \exp(0) = I$。因此，$\exp(A)$ 与 $\exp(-A)$ 互为逆矩阵。
公式：$\exp(-A)\exp(A)=I$
提示：注意乘法顺序，但这里可交换，所以两侧结果相同。
步骤 5/5
目标：得出结论
由 $\exp(A)\exp(-A)=I$ 和 $\exp(-A)\exp(A)=I$ 可知，$\exp(A)$ 是可逆矩阵，且其逆矩阵为 $\exp(-A)$，即 $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$。
公式：$\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
提示：逆矩阵的唯一性保证了这一结论。
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