华东师范大学 2014年高等代数第9题

由条件 $A_i^2 = A_i$ 知 $A_i$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值满足 $\lambda^2 = \lambda$，故特征值只能是0或1。最小多项式为 $\lambda(\lambda-1)$，无重根，因此 $A_i$ 可对角化。

由 $A_i A_j = 0$（$i \neq j$）可得，对任意 $x \in \mathbb{K}^n$，有 $A_i(A_j x) = 0$，即 $\operatorname{Im} A_j \subseteq \ker A_i$。特别地，$\operatorname{Im} A_i \cap \operatorname{Im} A_j = \{0\}$（$i \neq j$），因为若 $y \in \operatorname{Im} A_i \cap \operatorname{Im} A_j$，则 $y = A_i x = A_j z$，于是 $A_i y = A_i A_j z = 0$，但 $A_i y = A_i^2 x = A_i x = y$，故 $y=0$。

令 $B = A_1 + A_2 + \cdots + A_n$。由 $A_i A_j = 0$（$i \neq j$）和 $A_i^2 = A_i$ 可得 $B^2 = B$，故 $B$ 也是幂等矩阵。于是 $\mathbb{K}^n = \operatorname{Im} B \oplus \ker B$。进一步，$\operatorname{Im} B = \operatorname{Im} A_1 \oplus \cdots \oplus \operatorname{Im} A_n$（直和），因为每个 $\operatorname{Im} A_i \subseteq \operatorname{Im} B$ 且两两交为0，且对任意 $y \in \operatorname{Im} B$，$y = Bx = \sum A_i x$，故 $y$ 可表示为各像空间向量之和。

对每个 $i=1,\dots,n$，在 $\operatorname{Im} A_i$ 中选取一组基 $\{v_{i1}, \dots, v_{ir_i}\}$，其中 $r_i = \operatorname{rank} A_i$。在 $\ker B$ 中选取一组基 $\{w_1, \dots, w_s\}$，其中 $s = n - \sum r_i$。将这些基向量合并得到 $\mathbb{K}^n$ 的一组基 $\{v_{11}, \dots, v_{1r_1}, v_{21}, \dots, v_{nr_n}, w_1, \dots, w_s\}$。

以这组基为列向量构成矩阵 $P$，即 $P = [v_{11}, \dots, v_{1r_1}, v_{21}, \dots, v_{nr_n}, w_1, \dots, w_s]$。由于基向量线性无关，$P$ 可逆。

考虑 $A_i$ 作用在基向量上：对于 $v_{ij} \in \operatorname{Im} A_i$，有 $A_i v_{ij} = v_{ij}$（因为 $v_{ij} = A_i x$，则 $A_i v_{ij} = A_i^2 x = A_i x = v_{ij}$）；对于 $v_{kj}$（$k \neq i$），由于 $v_{kj} \in \operatorname{Im} A_k$，有 $A_i v_{kj} = 0$（因为 $A_i A_k = 0$）；对于 $w_j \in \ker B$，由于 $B w_j = 0$，且 $A_i w_j$ 属于 $\operatorname{Im} A_i$，但 $B w_j = \sum A_k w_j = 0$，且各 $A_k w_j$ 属于不同的直和项，故每个 $A_k w_j = 0$，特别地 $A_i w_j = 0$。因此，在基下，$A_i$ 的矩阵为对角矩阵，对角线上前 $\sum_{k=1}^{i-1} r_k$ 个为0，接着 $r_i$ 个为1，其余为0。

因此，存在可逆矩阵 $P$ 使得每个 $P^{-1}A_iP$ 为对角矩阵，其对角元为 $r_i$ 个1和 $n-r_i$ 个0，且1的位置对应于 $\operatorname{Im} A_i$ 的基向量。