华东师范大学 2015年高等代数第2题
📝 题目
2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，求一个正交矩阵 $T$ ，使 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将矩阵表示为特殊形式
矩阵 $A$ 的元素特点：对角元为 $1$，非对角元为 $-2$。设 $J$ 为全 $1$ 矩阵，则 $A = I - 2(J - I) = 3I - 2J$。
公式：$A = 3I - 2J$
提示：注意 $J$ 是每个元素都为 $1$ 的矩阵，不是单位矩阵。
步骤 2/5
目标：求特征值
全 $1$ 矩阵 $J$ 的特征值为 $4$（单重）和 $0$（三重）。由 $A = 3I - 2J$，$A$ 的特征值为 $3 - 2\lambda_J$，即 $\lambda_1 = 3 - 2 \times 4 = -5$（单重），$\lambda_2 = 3 - 2 \times 0 = 3$（三重）。
公式：$\lambda_A = 3 - 2\lambda_J$
提示：注意 $J$ 的特征值 $4$ 对应 $A$ 的特征值 $-5$，$J$ 的特征值 $0$ 对应 $A$ 的特征值 $3$。
步骤 3/5
目标：求特征值 -5 的特征向量
解 $(A + 5I)\mathbf{x}=0$，即 $(8I - 2J)\mathbf{x}=0$，等价于 $J\mathbf{x}=4\mathbf{x}$，即所有分量相等。取 $\mathbf{v}_1 = (1,1,1,1)^T$，单位化得 $\mathbf{u}_1 = \frac{1}{2}(1,1,1,1)^T$。
公式：$J\mathbf{x}=4\mathbf{x}$
提示：注意单位化时模长为 $\sqrt{4}=2$。
步骤 4/5
目标：求特征值 3 的特征向量（正交基）
解 $(A - 3I)\mathbf{x}=0$，即 $(-2J)\mathbf{x}=0$，等价于 $J\mathbf{x}=0$，即分量和为 $0$。需要找到三个正交的单位向量与 $(1,1,1,1)^T$ 正交。取 $\mathbf{v}_2 = (1,-1,0,0)^T$，单位化得 $\mathbf{u}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0,0)^T$。取 $\mathbf{v}_3 = (1,1,-2,0)^T$，与 $\mathbf{v}_2$ 正交，单位化得 $\mathbf{u}_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0)^T$。取 $\mathbf{v}_4 = (1,1,1,-3)^T$，与 $\mathbf{v}_2$ 和 $\mathbf{v}_3$ 正交，单位化得 $\mathbf{u}_4 = \frac{1}{\sqrt{12}}(1,1,1,-3)^T$。
公式：$J\mathbf{x}=0$
提示：构造正交向量时，可使用施密特正交化方法，但这里直接选取了与之前向量正交的向量。注意验证正交性。
步骤 5/5
目标：构造正交矩阵 T
将单位特征向量按列排列：$$T = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{12}} \\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{3}{\sqrt{12}} \end{pmatrix}$$ 则 $T^{-1}AT = \operatorname{diag}(-5, 3, 3, 3)$。
公式：$T^{-1}AT = \Lambda$
提示：注意正交矩阵的列向量是单位正交的，且 $T^{-1}=T^T$。
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