📝 华东师范大学 2015年高等代数真题
第1题
1．（20 分）求一个 3 阶实对称矩阵 $A$ ，满足：特征值为 $\displaystyle 6,3,3$ ，且 6 对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha_{1}= (1,1,1)^{T}$ ．
第2题
2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，求一个正交矩阵 $T$ ，使 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角阵。
第3题
3．（15分）求解下面的方程组
$$
\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{1}
\end{array}\right|=1, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{2} & x_{3} \\
x_{1} & x_{2}
\end{array}\right|=2, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{3} & x_{1} \\
x_{2} & x_{3}
\end{array}\right|=3
$$
$$
\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{1}
\end{array}\right|=1, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{2} & x_{3} \\
x_{1} & x_{2}
\end{array}\right|=2, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{3} & x_{1} \\
x_{2} & x_{3}
\end{array}\right|=3
$$
第4题
4．（25 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\left|\begin{array}{ccccccc}x & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & x & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & x & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x\end{array}\right|$ ，
（1）证明：$\displaystyle f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x^{2}-1, f_{n}(x)=x f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x),(n>2)$ ，
（2）求 $\displaystyle f_{n}(2)$ 的值，
（3）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=0$ 的根是绝对值不超过 2 的实数．
（1）证明：$\displaystyle f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x^{2}-1, f_{n}(x)=x f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x),(n>2)$ ，
（2）求 $\displaystyle f_{n}(2)$ 的值，
（3）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=0$ 的根是绝对值不超过 2 的实数．
第5题
5．（15 分）证明：复数域上的方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=0\end{array}\right.$ 只有零解。
第6题
6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域的 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ ，证明：$A$ 与 $B$ 相似。
第7题
7．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in R^{2 \times 2}$ ，且
$$
A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0
$$
证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$
$$
A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0
$$
证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$
第8题
8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ，
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换，
（2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换，
（2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．