华东师范大学 2015年高等代数第1题

已知实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=6$, $\lambda_2=\lambda_3=3$，且 $\lambda_1$ 对应的特征向量为 $\alpha_1=(1,1,1)^T$。由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，因此 $\lambda_2,\lambda_3$ 的特征向量必须与 $\alpha_1$ 正交，即满足 $x_1+x_2+x_3=0$。

解方程 $x_1+x_2+x_3=0$，得到两个线性无关的解。取 $\alpha_2=(1,-1,0)^T$，再取一个与 $\alpha_2$ 正交且满足方程的解，例如 $\alpha_3=(1,1,-2)^T$（因为 $\alpha_2^T\alpha_3=1\cdot1+(-1)\cdot1+0\cdot(-2)=0$）。

将 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 单位化： $\beta_1=\frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)^T$， $\beta_2=\frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T$， $\beta_3=\frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2)^T$。

令正交矩阵 $Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，即 $Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$， 对角矩阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(6,3,3)$。

由谱分解 $A = Q\Lambda Q^T$，先计算 $Q\Lambda$： $Q\Lambda = \begin{pmatrix} \frac{6}{\sqrt{3}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{6}} \\ \frac{6}{\sqrt{3}} & -\frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{6}} \\ \frac{6}{\sqrt{3}} & 0 & -\frac{6}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$。 再乘以 $Q^T$ 得到 $A$。

计算 $A = (Q\Lambda) Q^T$ 的各元素： 第一行第一列：$\frac{6}{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=2+1.5+0.5=4$， 第一行第二列：$\frac{6}{3}-\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=2-1.5+0.5=1$， 第一行第三列：$\frac{6}{3}+0-\frac{6}{6}=2-1=1$， 第二行第一列：$\frac{6}{3}-\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=1$， 第二行第二列：$\frac{6}{3}+\frac{3}{2}+\frac{3}{6}=4$， 第二行第三列：$\frac{6}{3}+0-\frac{6}{6}=1$， 第三行第一列：$\frac{6}{3}+0-\frac{6}{6}=1$， 第三行第二列：$\frac{6}{3}+0-\frac{6}{6}=1$， 第三行第三列：$\frac{6}{3}+0+\frac{12}{6}=2+2=4$。 因此 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$。

验证特征值：$A(1,1,1)^T = (6,6,6)^T = 6(1,1,1)^T$，对应特征值6；$A(1,-1,0)^T = (3,-3,0)^T = 3(1,-1,0)^T$，$A(1,0,-1)^T = (3,0,-3)^T = 3(1,0,-1)^T$，对应特征值3。满足条件。