华东师范大学 2015年高等代数第3题
📝 题目
3．（15分）求解下面的方程组
$$
\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{1}
\end{array}\right|=1, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{2} & x_{3} \\
x_{1} & x_{2}
\end{array}\right|=2, \quad\left|\begin{array}{cc}
x_{3} & x_{1} \\
x_{2} & x_{3}
\end{array}\right|=3
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将行列式方程化为代数方程
计算每个行列式：
\[
\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_1 \end{vmatrix} = x_1^2 - x_2 x_3 = 1,
\]
\[
\begin{vmatrix} x_2 & x_3 \\ x_1 & x_2 \end{vmatrix} = x_2^2 - x_1 x_3 = 2,
\]
\[
\begin{vmatrix} x_3 & x_1 \\ x_2 & x_3 \end{vmatrix} = x_3^2 - x_1 x_2 = 3.
\]
公式：\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
提示：注意行列式的计算顺序，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：引入对称和与积
设 \(S = x_1 + x_2 + x_3\)，\(P = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1\)，\(Q = x_1 x_2 x_3\)。则 \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S^2 - 2P\)。将三个方程相加得：
\[
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) = 6,
\]
即 \(S^2 - 3P = 6\)。
公式：x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = S^2 - 2P
提示：注意对称和与积的定义，避免混淆。
步骤 3/6
目标：利用方程相减得到线性关系
将第一式减第二式：
\[
(x_1^2 - x_2 x_3) - (x_2^2 - x_1 x_3) = 1 - 2 \Rightarrow (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + x_3) = -1,
\]
即 \((x_1 - x_2)S = -1\)。类似地，
\[
(x_2 - x_3)S = -1, \quad (x_3 - x_1)S = 2.
\]
公式：a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
提示：因式分解时注意符号，确保等式两边同时相减。
步骤 4/6
目标：推导变量间的关系
由 \((x_1 - x_2)S = -1\) 和 \((x_2 - x_3)S = -1\) 得 \(x_1 - x_2 = x_2 - x_3\)，即 \(x_1 + x_3 = 2x_2\)。代入 \(S = x_1 + x_2 + x_3 = 3x_2\)，所以 \(x_2 = S/3\)。再由 \((x_1 - x_2)S = -1\) 得 \(x_1 = S/3 - 1/S\)，由 \((x_3 - x_1)S = 2\) 得 \(x_3 = S/3 + 1/S\)。
提示：注意解线性方程组时，要确保分母不为零，此处S不为0。
步骤 5/6
目标：计算P并代入方程
计算 \(P = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1\)：
\[
x_1 x_2 = \left(\frac{S}{3} - \frac{1}{S}\right)\frac{S}{3} = \frac{S^2}{9} - \frac{1}{3},
\]
\[
x_2 x_3 = \frac{S}{3}\left(\frac{S}{3} + \frac{1}{S}\right) = \frac{S^2}{9} + \frac{1}{3},
\]
\[
x_3 x_1 = \left(\frac{S}{3} + \frac{1}{S}\right)\left(\frac{S}{3} - \frac{1}{S}\right) = \frac{S^2}{9} - \frac{1}{S^2}.
\]
相加得 \(P = \frac{S^2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{S^2}\)。代入 \(S^2 - 3P = 6\) 得：
\[
S^2 - 3\left(\frac{S^2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{S^2}\right) = 6 \Rightarrow \frac{3}{S^2} = 7 \Rightarrow S^2 = \frac{3}{7}.
\]
公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2
提示：计算P时注意合并同类项，避免代数错误。
步骤 6/6
目标：求解S并得到两组解
由 \(S^2 = 3/7\) 得 \(S = \pm \sqrt{3/7}\)。代入 \(x_1, x_2, x_3\) 表达式：
当 \(S = \sqrt{3/7}\) 时，
\[
x_1 = \frac{S}{3} - \frac{1}{S} = -\frac{2\sqrt{21}}{7},\quad x_2 = \frac{S}{3} = \frac{\sqrt{21}}{21},\quad x_3 = \frac{S}{3} + \frac{1}{S} = \frac{8\sqrt{21}}{21}.
\]
当 \(S = -\sqrt{3/7}\) 时，
\[
x_1 = \frac{2\sqrt{21}}{7},\quad x_2 = -\frac{\sqrt{21}}{21},\quad x_3 = -\frac{8\sqrt{21}}{21}.
\]
提示：注意有理化分母，并检查每组解是否满足原方程。
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