华东师范大学 2015年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in R^{2 \times 2}$ ，且
$$
A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0
$$
证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
由 $A^2 = B^2 = E$ 知 $A, B$ 都是对合矩阵，且 $AB + BA = 0$，即 $AB = -BA$。
公式：A^2 = E, B^2 = E, AB = -BA
提示：注意对合矩阵的定义：平方等于单位矩阵。
步骤 2/7
目标：确定A的特征值
由于 $A^2 = E$，$A$ 的特征值满足 $\lambda^2 = 1$，故特征值只能是 $\pm 1$。$A$ 可对角化（因为最小多项式无重根）。若 $A = \pm E$，则代入 $AB = -BA$ 得 $B = 0$，与 $B^2 = E$ 矛盾。故 $A$ 的特征值既有 $1$ 又有 $-1$，即 $A$ 相似于 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。
公式：\lambda^2 = 1
提示：注意排除 $A = \pm E$ 的情况，否则会导致矛盾。
步骤 3/7
目标：构造特征向量
设 $\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值 $1$ 的特征向量，即 $A\alpha = \alpha$。令 $\beta = B\alpha$，则 $A\beta = AB\alpha = -BA\alpha = -B\alpha = -\beta$，故 $\beta$ 是 $A$ 的属于特征值 $-1$ 的特征向量。由于 $B^2 = E$，$B$ 可逆，$\beta \neq 0$。
公式：A\beta = -\beta
提示：注意 $B$ 可逆保证 $\beta$ 非零。
步骤 4/7
目标：证明向量组线性无关
$\alpha$ 和 $\beta$ 属于 $A$ 的不同特征值，故线性无关，构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基。
提示：不同特征值的特征向量自动线性无关。
步骤 5/7
目标：求A在该基下的矩阵
在基 $\{\alpha, \beta\}$ 下，$A\alpha = \alpha$，$A\beta = -\beta$，故 $A$ 的矩阵为 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$。
公式：A \sim \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
提示：注意矩阵表示与基的对应关系。
步骤 6/7
目标：求B在该基下的矩阵
由 $B\alpha = \beta$，$B\beta = B^2\alpha = \alpha$，故 $B$ 在基 $\{\alpha, \beta\}$ 下的矩阵为 $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。
公式：B \sim \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
提示：注意 $B\beta = \alpha$ 来自 $B^2 = E$。
步骤 7/7
目标：构造可逆矩阵P
取 $P$ 为从基 $\{\alpha, \beta\}$ 到标准基的过渡矩阵，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$，$P^{-1}BP = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$。
提示：过渡矩阵的列向量是基向量在标准基下的坐标。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。