华东师范大学 2015年高等代数第8题
📝 题目
8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ，
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换，
（2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证线性变换的定义
对于任意 $B, C \in M_n(\mathbb{C})$ 和 $k \in \mathbb{C}$，计算 $\mathscr{A}(B+C) = A(B+C) - (B+C)A = AB + AC - BA - CA = (AB - BA) + (AC - CA) = \mathscr{A}(B) + \mathscr{A}(C)$，以及 $\mathscr{A}(kB) = A(kB) - (kB)A = k(AB - BA) = k\mathscr{A}(B)$。因此 $\mathscr{A}$ 满足加法和数乘封闭性，是线性变换。
公式：$\mathscr{A}(B+C)=\mathscr{A}(B)+\mathscr{A}(C)$, $\mathscr{A}(kB)=k\mathscr{A}(B)$
提示：注意矩阵乘法不交换，但分配律成立。
步骤 2/5
目标：利用对角化简化问题
由于 $A$ 可对角化，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$。定义变换 $\mathscr{A}'(X) = \Lambda X - X\Lambda$，则对任意 $B$，令 $X = P^{-1}BP$，有 $\mathscr{A}(B) = P \mathscr{A}'(X) P^{-1}$，因此 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{A}'$ 相似，具有相同的特征值。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$, $\mathscr{A}(B) = P \mathscr{A}'(P^{-1}BP) P^{-1}$
提示：相似变换不改变特征值，但需注意基变换的对应关系。
步骤 3/5
目标：选取基并计算变换作用
取 $M_n(\mathbb{C})$ 的标准基 $\{E_{ij}\}$，其中 $E_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列为1、其余为0的矩阵。计算 $\mathscr{A}'(E_{ij}) = \Lambda E_{ij} - E_{ij}\Lambda$。由于 $\Lambda$ 是对角矩阵，$\Lambda E_{ij}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\lambda_i$，其他为0；$E_{ij}\Lambda$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $\lambda_j$，其他为0。因此 $\mathscr{A}'(E_{ij}) = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}$。
公式：$\Lambda E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$, $E_{ij}\Lambda = \lambda_j E_{ij}$
提示：注意矩阵乘法中，左乘对角矩阵作用行，右乘作用列。
步骤 4/5
目标：确定特征值和特征向量
由 $\mathscr{A}'(E_{ij}) = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}$ 可知，每个 $E_{ij}$ 都是 $\mathscr{A}'$ 的特征向量，对应的特征值为 $\lambda_i - \lambda_j$。由于 $\{E_{ij}\}$ 构成 $M_n(\mathbb{C})$ 的一组基，且共有 $n^2$ 个，因此 $\mathscr{A}'$ 的所有特征值就是 $\lambda_i - \lambda_j$，其中 $i, j = 1, 2, \ldots, n$。
公式：$\mathscr{A}'(E_{ij}) = (\lambda_i - \lambda_j) E_{ij}$
提示：特征值可能重复，但个数仍为 $n^2$ 个（计重数）。
步骤 5/5
目标：回到原变换并总结
由于 $\mathscr{A}$ 与 $\mathscr{A}'$ 相似，它们有相同的特征值。因此 $\mathscr{A}$ 的所有 $n^2$ 个特征值为 $\lambda_i - \lambda_j$，其中 $i, j = 1, 2, \ldots, n$。
提示：注意特征值的顺序与 $\lambda_i$ 的排列有关，但集合相同。
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