华东师范大学 2015年高等代数第4题

当 $n=1$ 时，$f_1(x)=x$。当 $n=2$ 时，$f_2(x)=\begin{vmatrix} x & -1 \\ -1 & x \end{vmatrix}=x^2-1$。对于 $n>2$，将 $f_n(x)$ 按第一行展开： $$f_n(x)=x\begin{vmatrix} x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x \end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)} -(-1)\begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x \end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}$$ 第一个行列式就是 $f_{n-1}(x)$。第二个行列式按第一列展开，得到 $(-1)\cdot f_{n-2}(x)$（注意符号），所以第二个行列式为 $(-1)\cdot f_{n-2}(x)$。因此 $$f_n(x)=x f_{n-1}(x) - f_{n-2}(x).$$

由递推关系，$f_n(2)=2f_{n-1}(2)-f_{n-2}(2)$，且$f_1(2)=2$，$f_2(2)=2^2-1=3$。计算： $f_3(2)=2\times3-2=4$，$f_4(2)=2\times4-3=5$，猜想$f_n(2)=n+1$。用数学归纳法证明：假设$f_{k-1}(2)=k$，$f_{k-2}(2)=k-1$，则$f_k(2)=2k-(k-1)=k+1$，成立。所以$f_n(2)=n+1$。

令$x=2\cos\theta$，则递推式化为$f_n(2\cos\theta)=2\cos\theta f_{n-1}(2\cos\theta)-f_{n-2}(2\cos\theta)$。这是切比雪夫多项式的递推式。易验证$f_1(2\cos\theta)=2\cos\theta$，$f_2(2\cos\theta)=4\cos^2\theta-1=2\cos2\theta+1$？实际上，标准切比雪夫多项式$U_n(\cos\theta)=\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$满足$U_n(\cos\theta)=2\cos\theta U_{n-1}(\cos\theta)-U_{n-2}(\cos\theta)$，且$U_0=1$，$U_1=2\cos\theta$。但这里$f_1=2\cos\theta$，$f_2=4\cos^2\theta-1=2\cos2\theta+1$？实际上$2\cos2\theta=4\cos^2\theta-2$，所以$f_2=2\cos2\theta+1$。而$U_2(\cos\theta)=4\cos^2\theta-1$，所以$f_2=U_2(\cos\theta)$。但$f_1=U_1(\cos\theta)$，所以$f_n(2\cos\theta)=U_n(\cos\theta)$。因此$f_n(x)=0$即$U_n(\cos\theta)=0$，解得$\cos\theta=\cos\frac{k\pi}{n+1}$，$k=1,2,\ldots,n$，所以$x=2\cos\frac{k\pi}{n+1}$，这些根都在$[-2,2]$内，是实数。

通过以上步骤，我们完成了递推关系的证明，求出了$f_n(2)=n+1$，并证明了$f_n(x)=0$的根是$2\cos\frac{k\pi}{n+1}$，$k=1,2,\ldots,n$，这些根都是实数且绝对值不超过2。