华东师范大学 2015年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）证明：复数域上的方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=0\end{array}\right.$ 只有零解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定解并构造多项式
设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是复数域上的解。考虑多项式 $f(t) = \prod_{i=1}^n (t - x_i) = t^n - \sigma_1 t^{n-1} + \sigma_2 t^{n-2} - \cdots + (-1)^n \sigma_n$，其中 $\sigma_k$ 是初等对称多项式。
公式：$f(t) = \prod_{i=1}^n (t - x_i) = t^n - \sigma_1 t^{n-1} + \sigma_2 t^{n-2} - \cdots + (-1)^n \sigma_n$
提示：注意符号：$\sigma_k$ 是 $x_1, \dots, x_n$ 的所有 $k$ 个不同变量的乘积之和，且 $f(t)$ 展开时符号交替。
步骤 2/6
目标：引入牛顿恒等式
幂和 $p_k = \sum_{i=1}^n x_i^k$ 与初等对称多项式 $\sigma_k$ 满足牛顿恒等式：$k \sigma_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \sigma_{k-i} p_i$，其中 $\sigma_0 = 1$。
公式：$k \sigma_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \sigma_{k-i} p_i$
提示：注意 $\sigma_0 = 1$，且 $p_i$ 是已知的幂和。
步骤 3/6
目标：代入已知条件
已知 $p_1 = p_2 = \cdots = p_n = 0$。代入牛顿恒等式：对于 $k=1$，$1 \cdot \sigma_1 = (-1)^{0} \sigma_0 p_1 = 0$，故 $\sigma_1 = 0$。
提示：注意 $p_1=0$ 是已知条件，直接代入。
步骤 4/6
目标：递推得到所有σ_k为零
对于 $k=2$，$2 \sigma_2 = \sigma_1 p_1 - \sigma_0 p_2 = 0$，故 $\sigma_2 = 0$。依次类推，假设 $\sigma_1 = \cdots = \sigma_{k-1}=0$，则 $k \sigma_k = \sum_{i=1}^k (-1)^{i-1} \sigma_{k-i} p_i$ 中，当 $i
提示：注意归纳步骤：当 $i
步骤 5/6
目标：得出多项式形式
由于所有 $\sigma_k = 0$，多项式 $f(t) = t^n$。因此 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 都是 $t^n=0$ 的根，即每个 $x_i$ 满足 $x_i^n=0$，故 $x_i=0$。
公式：$f(t) = t^n$
提示：注意 $t^n=0$ 在复数域中只有零根。
步骤 6/6
目标：结论
所以 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$，即方程组只有零解。
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