华东师范大学 2015年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域的 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ ，证明：$A$ 与 $B$ 相似。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵性质
由 $A^2 = A$ 和 $B^2 = B$ 可知，$A$ 和 $B$ 都是幂等矩阵。
公式：A^2 = A, B^2 = B
提示：注意幂等矩阵的定义：$A^2 = A$。
步骤 2/6
目标：分析特征值与可对角化
幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且最小多项式为 $\lambda(\lambda-1)$ 无重根，因此可对角化。
公式：\lambda(\lambda-1)
提示：特征值只有0和1，且可对角化是后续步骤的关键。
步骤 3/6
目标：将A和B化为标准型
存在可逆矩阵 $P, Q$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$Q^{-1}BQ = \begin{pmatrix} I_s & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$，$s = \operatorname{rank}(B)$。
公式：P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意对角化后的矩阵形式：左上角是单位矩阵，其余为零。
步骤 4/6
目标：利用秩相等条件
由题设 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)$，故 $r = s$。
公式：\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B)
提示：秩相等是证明相似的关键条件。
步骤 5/6
目标：建立相似关系
于是 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = Q^{-1}BQ$。从而 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1}$，$B = Q \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}$。
提示：注意矩阵乘法顺序，确保等式成立。
步骤 6/6
目标：构造相似变换矩阵
令 $R = PQ^{-1}$，则 $R^{-1}AR = (Q P^{-1}) A (P Q^{-1}) = Q (P^{-1}AP) Q^{-1} = Q \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1} = B$，故 $A$ 与 $B$ 相似。
公式：R = PQ^{-1}
提示：验证 $R^{-1}AR = B$ 时，注意 $R^{-1} = QP^{-1}$。
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