华东师范大学 2016年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设 $M$ 是二阶矩阵，求证：
$$
M\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) M^{T}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \Leftrightarrow|M|=1
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设出矩阵M并写出其转置
设 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则其转置为 $M^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$。
提示：注意转置矩阵的行列互换，不要写错位置。
步骤 2/5
目标：计算M乘以给定矩阵
先计算 $M \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot0 + b\cdot(-1) & a\cdot1 + b\cdot0 \\ c\cdot0 + d\cdot(-1) & c\cdot1 + d\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法公式：$(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$
提示：矩阵乘法时注意行乘列的顺序，不要混淆。
步骤 3/5
目标：将结果乘以M的转置
接着计算 $\begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix} M^T = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-b)a + a b & (-b)c + a d \\ (-d)a + c b & (-d)c + c d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -ab + ab & -bc + ad \\ -ad + bc & -cd + cd \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & ad - bc \\ -(ad - bc) & 0 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法公式
提示：注意合并同类项时符号不要出错，特别是 $(-d)a + c b = -ad + bc$。
步骤 4/5
目标：比较等式两边
左边计算结果为 $\begin{pmatrix} 0 & ad - bc \\ -(ad - bc) & 0 \end{pmatrix}$，右边为 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$。两者相等当且仅当 $ad - bc = 1$。
提示：矩阵相等要求对应位置元素相等，注意右下角元素0=0自动成立。
步骤 5/5
目标：得出行列式条件
由于 $|M| = ad - bc$，所以 $ad - bc = 1$ 即 $|M| = 1$。因此，原等式等价于 $|M| = 1$。
公式：二阶矩阵行列式公式：$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
提示：注意行列式是数值，不要与矩阵混淆。
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