📝 华东师范大学 2016年高等代数真题
第1题
1．（15 分）设 $M$ 是二阶矩阵，求证：
$$
M\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) M^{T}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \Leftrightarrow|M|=1
$$
$$
M\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) M^{T}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \Leftrightarrow|M|=1
$$
第2题
2．（15 分）在矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
n+1 & n+2 & \cdots & 2 n \\
\cdots & \cdots & & \cdots \\
(n-1) n+1 & (n-1) n+2 & \cdots & n^{2}
\end{array}\right)
$$
中取 $n$ 个数，使得每行每列都恰好只被取到一个数。问：这些取出的数相加之和会有哪些可能的值？
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
n+1 & n+2 & \cdots & 2 n \\
\cdots & \cdots & & \cdots \\
(n-1) n+1 & (n-1) n+2 & \cdots & n^{2}
\end{array}\right)
$$
中取 $n$ 个数，使得每行每列都恰好只被取到一个数。问：这些取出的数相加之和会有哪些可能的值？
第3题
3．（30 分）已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
3 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 3 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right),
$$
求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵，并写出得到的对角矩阵。
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
3 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 3 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 3 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right),
$$
求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵，并写出得到的对角矩阵。
第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的向量．已知整数 $m$ 满足 $\displaystyle \varphi^{m}(\alpha) \neq 0$ ，但 $\displaystyle \varphi^{m+1}(\alpha)=0$ ．求证 $\displaystyle \alpha, \varphi(\alpha), \cdots, \varphi^{m}(\alpha)$ 线性无关．
第5题
5．（20 分）设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$X$ 是一个集合．已知存在一个双射 $\displaystyle \varphi: X \rightarrow V$ ．先在 $X$上定义加法和数乘运算如下：
$$
\begin{aligned}
& x \oplus y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y)), \quad \forall x, y \in X, \\
& x \circ y=\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)), \quad \forall \lambda \in K, x \in X .
\end{aligned}
$$
验证 $X$ 关于上述定义的加法与数乘构成 $K$ 上的一个线性空间，并且 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间之间的一个同构。
$$
\begin{aligned}
& x \oplus y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y)), \quad \forall x, y \in X, \\
& x \circ y=\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)), \quad \forall \lambda \in K, x \in X .
\end{aligned}
$$
验证 $X$ 关于上述定义的加法与数乘构成 $K$ 上的一个线性空间，并且 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间之间的一个同构。
第6题
6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算
$$
(A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V .
$$
（1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间．
（2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射
$$
\phi(A)=T A, \quad A \in V
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射．
（3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。
$$
(A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V .
$$
（1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间．
（2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射
$$
\phi(A)=T A, \quad A \in V
$$
证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射．
（3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。
第7题
7．（15 分）证明：下列二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}
$$
是半正定型．
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}
$$
是半正定型．
第8题
8．（20 分）已知实矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & b_{1} & & & \\
c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_{n}
\end{array}\right)
$$
满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值．
（提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & b_{1} & & & \\
c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\
& & & c_{n-1} & a_{n}
\end{array}\right)
$$
满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值．
（提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）