华东师范大学 2016年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）在矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
n+1 & n+2 & \cdots & 2 n \\
\cdots & \cdots & & \cdots \\
(n-1) n+1 & (n-1) n+2 & \cdots & n^{2}
\end{array}\right)
$$
中取 $n$ 个数，使得每行每列都恰好只被取到一个数。问：这些取出的数相加之和会有哪些可能的值？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解矩阵结构
矩阵 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，其元素按行顺序从 $1$ 到 $n^2$ 排列。第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $a_{ij} = (i-1)n + j$，其中 $i, j = 1, 2, \dots, n$。
公式：a_{ij} = (i-1)n + j
提示：注意行和列的索引从1开始，而不是0。
步骤 2/8
目标：建立取数模型
从每行每列各取一个数，相当于选取一个排列 $\sigma \in S_n$，使得取出的数为 $a_{i,\sigma(i)}$，即第 $i$ 行取第 $\sigma(i)$ 列的数。
提示：排列 $\sigma$ 是一一映射，确保每列只取一次。
步骤 3/8
目标：写出取数和表达式
取出的 $n$ 个数之和为 $S = \sum_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} = \sum_{i=1}^n [(i-1)n + \sigma(i)]$。
公式：S = \sum_{i=1}^n [(i-1)n + \sigma(i)]
提示：将 $a_{ij}$ 的表达式代入。
步骤 4/8
目标：拆分求和
将和式拆分为两部分：$S = n \sum_{i=1}^n (i-1) + \sum_{i=1}^n \sigma(i)$。
公式：S = n \sum_{i=1}^n (i-1) + \sum_{i=1}^n \sigma(i)
提示：注意 $n$ 是常数，可以提到求和号外。
步骤 5/8
目标：计算第一部分
计算 $\sum_{i=1}^n (i-1) = 0+1+\cdots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2}$。因此 $n \sum_{i=1}^n (i-1) = n \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2(n-1)}{2}$。
公式：\sum_{i=1}^n (i-1) = \frac{n(n-1)}{2}
提示：等差数列求和，注意项数为 $n$。
步骤 6/8
目标：计算第二部分
由于 $\sigma$ 是 $\{1,2,\dots,n\}$ 的排列，$\sum_{i=1}^n \sigma(i) = 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$。
公式：\sum_{i=1}^n \sigma(i) = \frac{n(n+1)}{2}
提示：排列只是重新排序，和不变。
步骤 7/8
目标：合并结果
将两部分相加：$S = \frac{n^2(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{2}[n(n-1) + (n+1)] = \frac{n}{2}(n^2 - n + n + 1) = \frac{n}{2}(n^2+1) = \frac{n(n^2+1)}{2}$。
公式：S = \frac{n(n^2+1)}{2}
提示：化简时注意合并同类项。
步骤 8/8
目标：得出结论
和 $S$ 与排列 $\sigma$ 无关，因此无论取法如何，和均为定值 $\frac{n(n^2+1)}{2}$。
提示：注意结论：所有取法得到相同和。
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