华东师范大学 2017年高等代数第1题
📝 题目
1．（20 分）当实数 $\displaystyle \lambda$ 为何值时，方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(\lambda-2) x_{1}-x_{2}-x_{3}=-2 \\
4 x_{1}+(\lambda-1) x_{2}+4 x_{3}=7 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=2
\end{array}\right.
$$
有唯一解，无解，有无穷多个解；有解时，请求出求全部解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵并交换行
方程组对应的增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
\lambda-2 & -1 & -1 & -2 \\
4 & \lambda-1 & 4 & 7 \\
1 & 1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
为了简化计算，交换第1行与第3行，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
4 & \lambda-1 & 4 & 7 \\
\lambda-2 & -1 & -1 & -2
\end{pmatrix}
\]
提示：交换行时注意对应元素位置，避免抄错。
步骤 2/7
目标：初等行变换消去第一列
将第2行减去第1行的4倍，第3行减去第1行的(λ-2)倍，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & \lambda-5 & 0 & -1 \\
0 & -\lambda+1 & -\lambda+1 & -2\lambda+2
\end{pmatrix}
\]
提示：注意第3行变换时，常数项也要乘以(λ-2)并相减。
步骤 3/7
目标：进一步消元
将第3行加上第2行，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & \lambda-5 & 0 & -1 \\
0 & -4 & -\lambda+1 & -2\lambda+1
\end{pmatrix}
\]
然后交换第2行与第3行，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & -4 & -\lambda+1 & -2\lambda+1 \\
0 & \lambda-5 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\]
提示：交换行时注意行号对应。
步骤 4/7
目标：消去第三行第二列
将第3行加上第2行的(λ-5)/4倍，得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & -4 & -\lambda+1 & -2\lambda+1 \\
0 & 0 & \frac{(\lambda-5)(\lambda-1)}{4} & \frac{(\lambda-5)(2\lambda-1)}{4} -1
\end{pmatrix}
\]
化简第3行常数项：
\[
\frac{(\lambda-5)(2\lambda-1)}{4} -1 = \frac{2\lambda^2 -11\lambda +5 -4}{4} = \frac{2\lambda^2 -11\lambda +1}{4}
\]
所以第3行对应方程：
\[
(\lambda-5)(\lambda-1) x_3 = 2\lambda^2 -11\lambda +1
\]
提示：注意分母4在两边同时乘以4后消失，但系数仍保留因子。
步骤 5/7
目标：讨论λ的取值
根据系数矩阵的秩与增广矩阵的秩的关系讨论：
1. 当(λ-5)(λ-1) ≠ 0，即λ≠5且λ≠1时，系数矩阵满秩，方程组有唯一解。
2. 当λ=5时，代入增广矩阵得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & -4 & -4 & -9 \\
0 & 0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\]
第3行对应0 = -4，矛盾，无解。
3. 当λ=1时，代入增广矩阵得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 & -4 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & -8
\end{pmatrix}
\]
第3行对应0 = -8，矛盾，无解。
提示：注意λ=1或5时，分母为零，但分子不为零，故无解。
步骤 6/7
目标：求解唯一解情况
当λ≠1且λ≠5时，方程组有唯一解。由第3行得：
\[
x_3 = \frac{2\lambda^2 -11\lambda +1}{(\lambda-5)(\lambda-1)}
\]
由第2行：-4x_2 + (-λ+1)x_3 = -2λ+1，解得：
\[
x_2 = \frac{(-λ+1)x_3 + 2λ-1}{-4} = \frac{(\lambda-1)x_3 - 2\lambda+1}{4}
\]
由第1行：x_1 + x_2 + x_3 = 2，得：
\[
x_1 = 2 - x_2 - x_3
\]
提示：代入时注意符号，特别是x_2表达式中的负号。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上所述：
- 当λ≠1且λ≠5时，方程组有唯一解，解为：
\[
x_3 = \frac{2\lambda^2 -11\lambda +1}{(\lambda-5)(\lambda-1)},\quad
x_2 = \frac{(\lambda-1)x_3 - 2\lambda+1}{4},\quad
x_1 = 2 - x_2 - x_3
\]
- 当λ=1或λ=5时，方程组无解。
提示：注意唯一解表达式在λ=1或5时无意义，但此时方程组无解，所以结果一致。
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