华东师范大学 2017年高等代数第2题

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+x_2^2+3x_3^2+2\lambda x_1x_2+2x_1x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 2 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。

实二次型正定的充要条件是它的矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。

一阶顺序主子式 $\Delta_1 = a_{11} = 2 > 0$，恒成立。

二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{vmatrix} = 2\cdot1 - \lambda^2 = 2-\lambda^2 > 0$，解得 $-\sqrt{2} < \lambda < \sqrt{2}$。

三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 2 & \lambda & 1 \\ \lambda & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$\Delta_3 = 2\cdot\begin{vmatrix}1&0\\0&3\end{vmatrix} - \lambda\cdot\begin{vmatrix}\lambda&0\\1&3\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}\lambda&1\\1&0\end{vmatrix} = 2\cdot(1\cdot3-0\cdot0) - \lambda\cdot(\lambda\cdot3-0\cdot1) + 1\cdot(\lambda\cdot0-1\cdot1) = 6 - 3\lambda^2 - 1 = 5 - 3\lambda^2 > 0$，解得 $-\sqrt{\frac{5}{3}} < \lambda < \sqrt{\frac{5}{3}}$。

由 $\Delta_2>0$ 得 $-\sqrt{2}<\lambda<\sqrt{2}$，由 $\Delta_3>0$ 得 $-\sqrt{\frac{5}{3}}<\lambda<\sqrt{\frac{5}{3}}$。由于 $\sqrt{\frac{5}{3}} \approx 1.291$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，故交集为 $-\sqrt{\frac{5}{3}} < \lambda < \sqrt{\frac{5}{3}}$。

因此，$\lambda$ 的取值范围是 $\boxed{-\sqrt{\frac{5}{3}} < \lambda < \sqrt{\frac{5}{3}}}$。