华东师范大学 2018年高等代数第9题
📝 题目
9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ．
（1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ．
（2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上两两不同的数，$V$ 是 $\mathbb{K}$ 上线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 下的矩阵为对角矩阵 $A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。因此 $\varphi(\xi_j)=\lambda_j\xi_j$。
公式：$$\varphi(\xi_j)=\lambda_j\xi_j$$
提示：注意对角矩阵的含义：每个基向量是特征向量，特征值为对角元。
步骤 2/7
目标：构造向量组并利用不变性
设 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，且 $\alpha = x_1\xi_1+\cdots+x_n\xi_n \in W$，其中某个 $x_i\neq 0$。考虑 $\varphi^k(\alpha)$ 对 $k=0,1,\dots,n-1$。由于 $W$ 是不变子空间，$\varphi^k(\alpha)\in W$。计算：
$$\varphi^k(\alpha)=\sum_{j=1}^n x_j\lambda_j^k\xi_j.$$
公式：$$\varphi^k(\alpha)=\sum_{j=1}^n x_j\lambda_j^k\xi_j$$
提示：注意 $\varphi^0(\alpha)=\alpha$。
步骤 3/7
目标：写出向量组并利用范德蒙矩阵可逆性
将 $\beta_k=\varphi^k(\alpha)$ 写成矩阵形式：
$$\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1\\\lambda_1&\lambda_2&\cdots&\lambda_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\lambda_1^{n-1}&\lambda_2^{n-1}&\cdots&\lambda_n^{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\xi_1\\x_2\xi_2\\\vdots\\x_n\xi_n\end{pmatrix}.$$
系数矩阵是范德蒙矩阵，由于 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 两两不同，该矩阵可逆。
公式：范德蒙矩阵可逆当且仅当 $\lambda_i$ 互异。
提示：范德蒙矩阵的行列式不为零，因此可逆。
步骤 4/7
目标：推出每个 $x_j\xi_j$ 属于 $W$
由可逆性，每个 $x_j\xi_j$ 可由 $\beta_0,\dots,\beta_{n-1}$ 线性表示。而每个 $\beta_k\in W$，故 $x_j\xi_j\in W$。特别地，$x_i\xi_i\in W$。
提示：线性组合的系数由逆矩阵给出，但不需要具体求出。
步骤 5/7
目标：证明 $\xi_i\in W$
由于 $x_i\neq 0$，所以 $\xi_i = (1/x_i)(x_i\xi_i)\in W$。证毕。
提示：注意数乘封闭性：$W$ 是子空间，故数乘仍在 $W$ 中。
步骤 6/7
目标：分析不变子空间的结构
由(1)知，任何非零的 $\varphi$-不变子空间 $W$ 若包含一个向量 $\alpha=\sum x_i\xi_i$，则所有系数非零的基向量 $\xi_i$ 都属于 $W$。因此 $W$ 是由某些 $\xi_i$ 生成的子空间。反之，任何由若干 $\xi_i$ 生成的子空间显然是 $\varphi$-不变的，因为 $\varphi(\xi_i)=\lambda_i\xi_i$ 仍在该子空间中。
提示：注意零子空间也由空集生成。
步骤 7/7
目标：计算不变子空间个数
所有不变子空间就是由 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 的子集生成的子空间。每个子集对应一个不变子空间，包括空集对应的零子空间和全集对应的全空间。因此，不变子空间的个数等于 $\{1,2,\dots,n\}$ 的子集个数，即 $2^n$。
提示：注意子空间个数是 $2^n$，而不是 $n$ 或 $n+1$。
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