📝 华东师范大学 2018年高等代数真题
第1题
1．（15 分）当实数 $\displaystyle a, d$ 取何值时，下列方程无解、有唯一解、有无穷多个解？有解时，求出所有解。
$$
\left\{\begin{array}{l}
-x_{2}-2 x_{3}-2 x_{4}-6 x_{5}=a-3 \\
x_{1}-x_{3}-x_{4}+(d-5) x_{5}=-4 \\
2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+(d+2) x_{5}=-a \\
2 x_{2}+4 x_{3}+4 x_{4}+12 x_{5}=-a+6
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
-x_{2}-2 x_{3}-2 x_{4}-6 x_{5}=a-3 \\
x_{1}-x_{3}-x_{4}+(d-5) x_{5}=-4 \\
2 x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+(d+2) x_{5}=-a \\
2 x_{2}+4 x_{3}+4 x_{4}+12 x_{5}=-a+6
\end{array}\right.
$$
第2题
2．（10 分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f_{A}(\lambda)$ 与极小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ 分别为
$$
f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) .
$$
求 $A$ 的 Jordan 典范型。
$$
f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) .
$$
求 $A$ 的 Jordan 典范型。
第3题
3．（10 分）已知实二次型 $Q$ 满足 $\displaystyle Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ．求证：$Q$ 或者正定或者负定．
第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ ．求一个正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 为对角阵，并写出该对角阵。
第5题
5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\
-1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\
1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6
\end{array}\right)
$$
（2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\
\operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) .
\end{aligned}
$$
现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。
（3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证：
$$
V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)),
$$
这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。
$$
\left(\begin{array}{ccccccc}
1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\
-1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\
1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6
\end{array}\right)
$$
（2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\
\operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) .
\end{aligned}
$$
现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。
（3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证：
$$
V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)),
$$
这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。
第6题
6．（15 分）设 $f$ 与 $g$ 是从有限维线性空间 $U$ 到有限维线性空间 $W$ 的两个线性映射．若 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(g)$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 是 $f$ 的像，证明：存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ ，使得 $\displaystyle g=f \circ h$ ．
第7题
7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义
$$
f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A
$$
（1）．证明：$f$ 是一个线性映射；
（2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基；
（3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩；
（4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．
$$
f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A
$$
（1）．证明：$f$ 是一个线性映射；
（2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基；
（3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩；
（4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．
第8题
8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系
$$
A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. }
$$
（1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。
（2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。
$$
A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. }
$$
（1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。
（2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。
第9题
9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ．
（1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ．
（2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．
（1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ．
（2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．