华东师范大学 2018年高等代数第8题
📝 题目
8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系
$$
A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. }
$$
（1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。
（2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明自反性
对任意 $A \in M_{k,n}$，取 $P = I_k \in N_k^-$，$Q = I_n \in N_n^+$，则 $A = I_k A I_n$，所以 $A \sim A$。
提示：注意单位矩阵既是下三角幂幺矩阵也是上三角幂幺矩阵。
步骤 2/8
目标：证明对称性
若 $A \sim B$，则存在 $P \in N_k^-$，$Q \in N_n^+$ 使得 $A = P B Q$。由于 $P$ 和 $Q$ 可逆（行列式为1），且其逆矩阵仍为同类型的幂幺矩阵，于是 $B = P^{-1} A Q^{-1}$，其中 $P^{-1} \in N_k^-$，$Q^{-1} \in N_n^+$，所以 $B \sim A$。
公式：A = P B Q \Rightarrow B = P^{-1} A Q^{-1}
提示：幂幺矩阵的逆仍是同类型幂幺矩阵，需验证对角线元素仍为1。
步骤 3/8
目标：证明传递性
若 $A \sim B$ 且 $B \sim C$，则存在 $P_1 \in N_k^-$，$Q_1 \in N_n^+$ 使得 $A = P_1 B Q_1$，存在 $P_2 \in N_k^-$，$Q_2 \in N_n^+$ 使得 $B = P_2 C Q_2$。代入得 $A = P_1 (P_2 C Q_2) Q_1 = (P_1 P_2) C (Q_2 Q_1)$。由于 $P_1 P_2 \in N_k^-$，$Q_2 Q_1 \in N_n^+$，所以 $A \sim C$。
公式：A = (P_1 P_2) C (Q_2 Q_1)
提示：幂幺矩阵乘积仍是同类型幂幺矩阵，注意乘法顺序。
步骤 4/8
目标：结论：∼ 是等价关系
由自反性、对称性、传递性，$\sim$ 是 $M_{k,n}$ 上的等价关系。
步骤 5/8
目标：引入顺序主子式并分块矩阵
设 $A \sim B$，则存在 $P \in N_k^-$，$Q \in N_n^+$ 使得 $A = P B Q$。令 $r = \min\{k,n\}$。对任意 $i \leq r$，将矩阵分块：
$P = \begin{pmatrix} P_{11} & 0 \\ P_{21} & P_{22} \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix}$，$Q = \begin{pmatrix} Q_{11} & Q_{12} \\ 0 & Q_{22} \end{pmatrix}$，其中 $P_{11}, B_{11}, Q_{11}$ 是 $i \times i$ 矩阵。
提示：注意分块时 $P$ 是下三角，$Q$ 是上三角，因此左下和右上块分别为零矩阵。
步骤 6/8
目标：计算A的左上角i阶子块
由矩阵乘法，$A$ 的左上角 $i \times i$ 子块 $A_{11} = P_{11} B_{11} Q_{11}$，因为其他项涉及零块。
公式：A_{11} = P_{11} B_{11} Q_{11}
提示：注意 $P_{11} B_{12} \cdot 0 = 0$，$0 \cdot B_{21} Q_{11} = 0$，$0 \cdot B_{22} \cdot 0 = 0$。
步骤 7/8
目标：计算顺序主子式并证明不变性
则 $\Delta_i(A) = \det(A_{11}) = \det(P_{11} B_{11} Q_{11})$。由于 $P_{11}$ 是下三角幂幺矩阵，$\det(P_{11})=1$；$Q_{11}$ 是上三角幂幺矩阵，$\det(Q_{11})=1$。因此 $\det(A_{11}) = \det(B_{11}) = \Delta_i(B)$。
公式：\Delta_i(A) = \det(P_{11}) \det(B_{11}) \det(Q_{11}) = \Delta_i(B)
提示：注意行列式乘法性质，且幂幺矩阵行列式为1。
步骤 8/8
目标：结论：顺序主子式是不变量
因此，对任意 $i=1,\dots,r$，$\Delta_i(A) = \Delta_i(B)$，即顺序主子式是等价关系的不变量。
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