华东师范大学 2018年高等代数第7题
📝 题目
7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义
$$
f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A
$$
（1）．证明：$f$ 是一个线性映射；
（2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基；
（3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩；
（4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明线性映射
对任意 $X, Y \in M_m(\mathbb{K})$ 和 $\lambda \in \mathbb{K}$，有 $f(X+Y) = (X+Y)A = XA + YA = f(X) + f(Y)$，$f(\lambda X) = (\lambda X)A = \lambda (XA) = \lambda f(X)$。因此 $f$ 是线性映射。
提示：注意矩阵乘法分配律和数乘的结合律。
步骤 2/4
目标：具体计算核和像的基（m=n=2）
设 $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $f(X) = XA = \begin{pmatrix} a+2b & 2a+4b \\ c+2d & 2c+4d \end{pmatrix}$。
核：$f(X)=0$ 得 $a+2b=0$，$c+2d=0$，故 $a=-2b$，$c=-2d$。所以 $\ker(f) = \left\{ \begin{pmatrix} -2b & b \\ -2d & d \end{pmatrix} \mid b,d \in \mathbb{K} \right\}$，一组基为 $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$。
像：$f(X) = (a+2b) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + (c+2d) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，一组基为 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$。
提示：注意核中自由参数个数为2，像中自由参数个数也为2。
步骤 3/4
目标：求f的秩（一般情况）
设 $A$ 的秩为 $r$，则存在可逆矩阵 $P \in GL_m(\mathbb{K})$，$Q \in GL_n(\mathbb{K})$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。对任意 $X \in M_m(\mathbb{K})$，$f(X)=XA = X P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。由于 $Q$ 可逆，$\operatorname{Im}(f)$ 与映射 $X \mapsto X P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 的像同构。令 $Y = XP$，则 $Y$ 取遍 $M_m(\mathbb{K})$，像为 $\left\{ Y \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid Y \in M_m(\mathbb{K}) \right\}$。该矩阵的前 $r$ 列是 $Y$ 的前 $r$ 列，后 $n-r$ 列为零，因此像的维数为 $m \cdot r$。故 $f$ 的秩为 $m r$。
公式：rank(f) = m r
提示：注意可逆变换不改变像的维数。
步骤 4/4
目标：求核的维数（一般情况）
由维数公式：$\dim \ker(f) = \dim M_m(\mathbb{K}) - \operatorname{rank}(f) = m^2 - m r = m(m - r)$。
公式：dim ker(f) = m(m - r)
提示：注意定义域空间维数为 $m^2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。