华东师范大学 2018年高等代数第6题

已知 $f, g: U \to W$ 是有限维线性空间上的线性映射，且 $\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Im}(g)$。要证明存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ 使得 $g = f \circ h$。

由于 $\operatorname{Im}(g) = \operatorname{Im}(f)$，对任意 $u \in U$，$g(u) \in \operatorname{Im}(f)$，故存在 $v \in U$ 使得 $g(u) = f(v)$。但这样的 $v$ 不唯一，因为 $f(v) = f(v')$ 当且仅当 $v - v' \in \ker(f)$。这提示我们通过商空间来构造 $h$。

考虑商空间 $U/\ker(f)$，其维数为 $\dim U - \dim \ker(f) = \dim \operatorname{Im}(f)$。$f$ 诱导出同构 $\bar{f}: U/\ker(f) \to \operatorname{Im}(f)$，$g$ 诱导出满射 $\bar{g}: U/\ker(f) \to \operatorname{Im}(g) = \operatorname{Im}(f)$。由于 $\bar{f}$ 是同构，复合 $\bar{f}^{-1} \circ \bar{g}: U/\ker(f) \to U/\ker(f)$ 是线性同构。

令 $\bar{h} = \bar{f}^{-1} \circ \bar{g}$，则 $\bar{h}: U/\ker(f) \to U/\ker(f)$ 是可逆线性变换，且满足 $\bar{g} = \bar{f} \circ \bar{h}$。

设 $\pi: U \to U/\ker(f)$ 是自然投影。我们需要定义 $h: U \to U$ 使得 $\pi \circ h = \bar{h} \circ \pi$，且 $h$ 限制在 $\ker(f)$ 上是恒等映射（或任意可逆线性变换）。具体地，取 $\ker(f)$ 的一组基 $\{e_1,\dots,e_k\}$，并取 $U/\ker(f)$ 的一组基 $\{\pi(e_{k+1}),\dots,\pi(e_n)\}$，其中 $\{e_{k+1},\dots,e_n\}$ 是 $\ker(f)$ 的补空间的一组基。设 $\bar{h}$ 在 $U/\ker(f)$ 上的矩阵为 $A$，则定义 $h(e_i) = e_i$ 对 $i=1,\dots,k$，而对 $i=k+1,\dots,n$，定义 $h(e_i)$ 为 $U$ 中满足 $\pi(h(e_i)) = \bar{h}(\pi(e_i))$ 的向量，且 $h(e_i)$ 在补空间中的分量由 $A$ 决定。这样 $h$ 是线性变换。

对任意 $u \in U$，有 $\pi(u) = \sum_{i=k+1}^n a_i \pi(e_i)$，则 $\bar{h}(\pi(u)) = \sum_{i=k+1}^n a_i \bar{h}(\pi(e_i))$。由 $h$ 的定义，$\pi(h(u)) = \bar{h}(\pi(u))$。于是 $f(h(u)) = \bar{f}(\pi(h(u))) = \bar{f}(\bar{h}(\pi(u))) = \bar{g}(\pi(u)) = g(u)$。因此 $g = f \circ h$。

首先，$h$ 是单射：若 $h(u)=0$，则 $\pi(h(u))=0$，故 $\bar{h}(\pi(u))=0$，由 $\bar{h}$ 可逆得 $\pi(u)=0$，即 $u \in \ker(f)$。又 $h$ 在 $\ker(f)$ 上是恒等，所以 $u = h(u) = 0$。因此 $\ker(h)=\{0\}$，$h$ 是单射。由于 $U$ 是有限维，单射线性变换必为可逆。

因此，存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ 使得 $g = f \circ h$。