华东师范大学 2018年高等代数第5题

5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) $$ （2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义 $$ \begin{aligned} \operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\ \operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) . \end{aligned} $$ 现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。 （3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证： $$ V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)), $$ 这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。