华东师范大学 2019年高等代数第1题

原矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，以 $a_{11}$ 为圆心逆时针旋转 $90^\circ$。旋转后，原矩阵的行变为列，列变为行，但方向相反。具体地，$A$ 中位于第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $a_{ij}$ 旋转后位于新矩阵的第 $j$ 行第 $m-i+1$ 列。因此，新矩阵 $B$ 的行数等于原矩阵的列数 $n$，列数等于原矩阵的行数 $m$。即 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵。

旋转操作本质上是矩阵元素的重新排列，可以通过初等行变换和列变换实现。逆时针旋转 $90^\circ$ 相当于先转置，再对行进行逆序排列。转置不改变矩阵的秩，行逆序排列也不改变秩（因为行交换是初等行变换，不改变秩）。因此，$\operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A)$。

当 $m=n$ 时，$A$ 和 $B$ 都是 $n \times n$ 方阵。逆时针旋转 $90^\circ$ 相当于先转置，再对行进行逆序排列。转置的行列式等于原行列式，即 $|A^T| = |A|$。

行逆序排列相当于进行一系列行交换：将第1行与第n行交换，第2行与第n-1行交换，等等。若 $n$ 为偶数，需要 $n/2$ 次交换，每次交换改变行列式符号，故符号变化为 $(-1)^{n/2}$；若 $n$ 为奇数，需要 $(n-1)/2$ 次交换，符号变化为 $(-1)^{(n-1)/2}$。因此，$|B| = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} |A|$，其中 $\lfloor n/2 \rfloor$ 表示 $n/2$ 的整数部分。

更简洁地，$|B| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} |A|$。验证：$n=1$ 时，$(-1)^0=1$；$n=2$ 时，$(-1)^1=-1$；$n=3$ 时，$(-1)^3=-1$；$n=4$ 时，$(-1)^6=1$，均与直接计算一致。

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$B$ 是 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到的矩阵。则 $B$ 的元素 $b_{ij} = a_{j, n-i+1}$。考虑矩阵 $C$，其中 $c_{ij} = a_{ji}$，即 $C = A^T$。再对 $C$ 进行行逆序排列：将第 $i$ 行与第 $n-i+1$ 行交换，得到 $B$。行逆序排列相当于左乘一个置换矩阵 $P$，其中 $P$ 是反对角线为1的矩阵。$P$ 的行列式为 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$。因此 $|B| = |P| \cdot |C| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} |A^T| = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} |A|$。