📝 华东师范大学 2019年高等代数真题
第1题
1．（20 分）$\displaystyle m \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 以 $\displaystyle a_{11}$ 为圆心逆时针旋转 $\displaystyle 90^{\circ}$ 得到矩阵 $B$ 。
（1）．求 $B$ 的行数和列数．
（2）． $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ 与 $\displaystyle \operatorname{rank}(B)$ 的关系，并解释原因。
（3）．设 $\displaystyle m=n,|A|$ 与 $\displaystyle |B|$ 的关系？并证明．
（1）．求 $B$ 的行数和列数．
（2）． $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ 与 $\displaystyle \operatorname{rank}(B)$ 的关系，并解释原因。
（3）．设 $\displaystyle m=n,|A|$ 与 $\displaystyle |B|$ 的关系？并证明．
第2题
2．（20 分）当实数 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，下列方程无解、有唯一解、有无穷多个解？有解时，求出所有解。
$$
\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3} & =1, \\ \left(\lambda^{2}+1\right) x_{1}+2 \lambda x_{2}+(\lambda+1) x_{3} & =\lambda+1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3} & =1 \\ 2 x_{1}+(\lambda+1) x_{2}+(\lambda+1) x_{3} & =2 .\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3} & =1, \\ \left(\lambda^{2}+1\right) x_{1}+2 \lambda x_{2}+(\lambda+1) x_{3} & =\lambda+1, \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3} & =1 \\ 2 x_{1}+(\lambda+1) x_{2}+(\lambda+1) x_{3} & =2 .\end{cases}
$$
第3题
3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & a \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right)$ 的特征多项式有二重根，求 $a$ 的值，并讨论可否对角化．
第4题
4．（15 分）已知 2019 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=2019 A$ ，证明：$\displaystyle E+A+\cdots+A^{2019}$ 为正定矩阵。
第5题
5．（20 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性变换。设 $\displaystyle v \in V$ ，存在 $\displaystyle f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$使得 $\displaystyle f(\mathscr{A})(v)=0$ ，则称 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的零化多项式。
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。
（2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。
（3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。
（2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。
（3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。
第6题
6．（15 分）证明：任意复二阶矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足
$$
\left[[A, B]^{2}, C\right]=0
$$
其中 $\displaystyle [X, Y]=X Y-Y X$ ．
$$
\left[[A, B]^{2}, C\right]=0
$$
其中 $\displaystyle [X, Y]=X Y-Y X$ ．
第7题
7．（20 分）记 $\displaystyle V_{n}(n \geqslant 0)$ 为次数不大于 $n$ 的关于 $\displaystyle x, y$ 的实系数二元多项式生成的空间．求 $\displaystyle V_{2}$ 上线性变换
$$
\mathscr{A}=2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}
$$
的 Jordan 标准型，并推广到一般情形。
$$
\mathscr{A}=2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}
$$
的 Jordan 标准型，并推广到一般情形。
第8题
8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。