华东师范大学 2019年高等代数第6题
📝 题目
6．（15 分）证明：任意复二阶矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足
$$
\left[[A, B]^{2}, C\right]=0
$$
其中 $\displaystyle [X, Y]=X Y-Y X$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确要证明的结论
设 $A, B, C$ 为任意复二阶矩阵。记 $[A, B] = AB - BA$。我们需要证明 $[[A, B]^2, C] = 0$，即 $[A, B]^2$ 与任意 $C$ 可交换。
提示：注意 $[X,Y]$ 的定义是 $XY-YX$。
步骤 2/7
目标：回忆二阶矩阵的特征多项式
对于任意二阶矩阵 $X$，其特征多项式为 $\lambda^2 - \operatorname{tr}(X) \lambda + \det(X) = 0$。由 Cayley-Hamilton 定理，矩阵 $X$ 满足 $X^2 - \operatorname{tr}(X) X + \det(X) I = 0$。
公式：X^2 - \operatorname{tr}(X) X + \det(X) I = 0
提示：Cayley-Hamilton 定理：矩阵满足自身的特征多项式。
步骤 3/7
目标：将特征多项式应用于 $[A,B]$
令 $X = [A, B]$，则 $[A, B]^2 - \operatorname{tr}([A, B]) [A, B] + \det([A, B]) I = 0$。
公式：[A, B]^2 - \operatorname{tr}([A, B]) [A, B] + \det([A, B]) I = 0
提示：注意矩阵乘法顺序。
步骤 4/7
目标：计算迹并简化
计算 $\operatorname{tr}([A, B]) = \operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$，因为迹满足 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$。因此特征多项式化为 $[A, B]^2 + \det([A, B]) I = 0$，即 $[A, B]^2 = -\det([A, B]) I$。
公式：\operatorname{tr}([A, B]) = 0, \quad [A, B]^2 = -\det([A, B]) I
提示：迹的循环性质：$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$。
步骤 5/7
目标：得出 $[A,B]^2$ 是标量矩阵
由 $[A, B]^2 = -\det([A, B]) I$ 可知 $[A, B]^2$ 是一个标量矩阵（即数量矩阵）。
公式：[A, B]^2 = k I, \quad k = -\det([A, B])
提示：标量矩阵是单位矩阵的常数倍。
步骤 6/7
目标：标量矩阵与任意矩阵可交换
由于标量矩阵 $kI$ 与任意矩阵 $C$ 可交换：$(kI)C = kC = C(kI)$，因此 $[[A, B]^2, C] = [kI, C] = 0$。
公式：[kI, C] = 0
提示：注意 $[kI, C] = kIC - CkI = kC - kC = 0$。
步骤 7/7
目标：结论
因此，对任意复二阶矩阵 $A, B, C$，有 $[[A, B]^2, C] = 0$，证毕。
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