华东师范大学 2019年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性变换。设 $\displaystyle v \in V$ ，存在 $\displaystyle f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$使得 $\displaystyle f(\mathscr{A})(v)=0$ ，则称 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的零化多项式。
（1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。
（2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。
（3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明存在非零零化多项式
设 $\dim V = n$。考虑 $n+1$ 个向量 $v, \mathscr{A}(v), \mathscr{A}^2(v), \dots, \mathscr{A}^n(v)$，由于 $V$ 是 $n$ 维，它们线性相关，故存在不全为零的复数 $c_0, c_1, \dots, c_n$ 使得 $c_0 v + c_1 \mathscr{A}(v) + \cdots + c_n \mathscr{A}^n(v) = 0$。令 $f(\lambda) = c_0 + c_1 \lambda + \cdots + c_n \lambda^n$，则 $f(\mathscr{A})(v)=0$ 且 $f(\lambda) \neq 0$。
公式：$c_0 v + c_1 \mathscr{A}(v) + \cdots + c_n \mathscr{A}^n(v) = 0$
提示：注意 $n+1$ 个向量必线性相关，系数不全为零。
步骤 2/4
目标：证明零化多项式均能被极小多项式整除
设 $m(\lambda) = m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 是次数最低的首一零化多项式。对任意零化多项式 $f(\lambda)$，由带余除法，存在多项式 $q(\lambda), r(\lambda)$ 使得 $f(\lambda) = q(\lambda) m(\lambda) + r(\lambda)$，其中 $\deg r < \deg m$ 或 $r=0$。代入 $\mathscr{A}$ 作用于 $v$ 得 $0 = f(\mathscr{A})(v) = q(\mathscr{A}) m(\mathscr{A})(v) + r(\mathscr{A})(v) = r(\mathscr{A})(v)$。因此 $r(\lambda)$ 也是零化多项式。若 $r \neq 0$，则 $\deg r < \deg m$，与 $m$ 的次数最小性矛盾。故 $r=0$，即 $m(\lambda) \mid f(\lambda)$。
公式：$f(\lambda) = q(\lambda) m(\lambda) + r(\lambda)$
提示：带余除法中余数次数小于除数次数，注意 $r(\mathscr{A})(v)=0$ 的推导。
步骤 3/4
目标：分解极小多项式并构造向量
设 $m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 是 $\mathscr{A}$ 的极小多项式，分解为互异一次因式幂的乘积：$m_{\mathscr{A}}(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{r_1} (\lambda - \lambda_2)^{r_2} \cdots (\lambda - \lambda_k)^{r_k}$。对每个 $i$，考虑广义特征子空间 $V_i = \ker(\mathscr{A} - \lambda_i I)^{r_i}$。由于 $V = \bigoplus_{i=1}^k V_i$，在每个 $V_i$ 中，存在向量 $v_i$ 使得 $(\mathscr{A} - \lambda_i I)^{r_i-1}(v_i) \neq 0$（否则 $\mathscr{A}$ 在 $V_i$ 上的极小多项式次数小于 $r_i$，矛盾）。令 $v = v_1 + v_2 + \cdots + v_k$。
公式：$m_{\mathscr{A}}(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{r_i}$
提示：注意每个 $V_i$ 中 $v_i$ 的存在性依赖于极小多项式的定义。
步骤 4/4
目标：证明 $m_{\mathscr{A}, v}(\lambda) = m_{\mathscr{A}}(\lambda)$
对任意多项式 $f(\lambda)$，$f(\mathscr{A})(v)=0$ 当且仅当对每个 $i$，$f(\mathscr{A})(v_i)=0$。由于 $v_i$ 的极小多项式为 $(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$，故 $f(\mathscr{A})(v_i)=0$ 当且仅当 $(\lambda - \lambda_i)^{r_i} \mid f(\lambda)$。因此 $f(\mathscr{A})(v)=0$ 当且仅当 $f(\lambda)$ 能被所有 $(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$ 整除，即被 $m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 整除。特别地，$m_{\mathscr{A}}(\mathscr{A})(v)=0$，且任何次数低于 $\deg m_{\mathscr{A}}$ 的多项式不能零化 $v$，故 $m_{\mathscr{A}, v}(\lambda) = m_{\mathscr{A}}(\lambda)$。
公式：$f(\mathscr{A})(v)=0 \iff m_{\mathscr{A}}(\lambda) \mid f(\lambda)$
提示：注意 $v_i$ 的极小多项式是 $(\lambda - \lambda_i)^{r_i}$，且 $v$ 的零化多项式必须同时整除所有因式。
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