华东师范大学 2019年高等代数第4题

由 $A^2 = 2019A$，设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\xi$，则 $A\xi = \lambda\xi$，两边左乘 $A$ 得 $A^2\xi = \lambda A\xi = \lambda^2\xi$，又 $A^2\xi = 2019A\xi = 2019\lambda\xi$，所以 $\lambda^2\xi = 2019\lambda\xi$，即 $\lambda(\lambda-2019)=0$，故 $\lambda=0$ 或 $\lambda=2019$。

因为 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\underbrace{2019,\dots,2019}_{r\text{ 个}},0,\dots,0)$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。

由 $A^2=2019A$，归纳可得：对 $k\geq 1$，$A^k = 2019^{k-1}A$。验证：$k=1$ 时 $A^1=2019^{0}A=A$ 成立；假设 $A^k=2019^{k-1}A$，则 $A^{k+1}=A\cdot A^k = A\cdot 2019^{k-1}A = 2019^{k-1}A^2 = 2019^{k-1}\cdot 2019A = 2019^k A$，故成立。

令 $B = E + A + A^2 + \cdots + A^{2019}$，则 $B = E + \sum_{k=1}^{2019} A^k = E + \sum_{k=1}^{2019} 2019^{k-1}A = E + \left(\sum_{k=1}^{2019} 2019^{k-1}\right) A$。等比数列求和：$\sum_{k=1}^{2019} 2019^{k-1} = \frac{2019^{2019}-1}{2019-1} = \frac{2019^{2019}-1}{2018}$，所以 $B = E + \frac{2019^{2019}-1}{2018} A$。

对 $B$ 进行正交相似变换：$Q^T B Q = Q^T E Q + \frac{2019^{2019}-1}{2018} Q^T A Q = E + \frac{2019^{2019}-1}{2018} \Lambda = \operatorname{diag}\left(1 + \frac{2019^{2019}-1}{2018}\cdot 2019,\dots,1 + \frac{2019^{2019}-1}{2018}\cdot 2019,1,\dots,1\right)$，其中前 $r$ 个对角元对应特征值 $2019$，后 $2019-r$ 个对角元对应特征值 $0$。

由于 $\frac{2019^{2019}-1}{2018} > 0$ 且 $2019 > 0$，所以 $1 + \frac{2019^{2019}-1}{2018}\cdot 2019 > 1 > 0$，而 $1 > 0$，故 $B$ 的所有特征值均为正数。又 $B$ 是实对称矩阵（因为 $A$ 实对称，$E$ 实对称，线性组合仍实对称），所以 $B$ 是正定矩阵。