华南理工大学 2024年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）解答如下问题：
（1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X / A X$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right) .
$$
将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积．
（2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1
\end{array}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵结构并展开二次型
给定矩阵 $A$ 的元素为 $a_{ij}=i+j-1$，二次型 $f = X'AX = \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^4 (i+j-1)x_i x_j$。
公式：$f = \sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^4 (i+j-1)x_i x_j$
提示：注意矩阵是Hankel矩阵，元素规律为行索引加列索引减1。
步骤 2/6
目标：将二次型拆分为三个求和项
将 $i+j-1$ 拆开：$f = \sum_{i,j} i x_i x_j + \sum_{i,j} j x_i x_j - \sum_{i,j} x_i x_j$。
公式：$f = \sum_{i,j} i x_i x_j + \sum_{i,j} j x_i x_j - \sum_{i,j} x_i x_j$
提示：注意求和指标 $i,j$ 均从1到4。
步骤 3/6
目标：将求和项转化为乘积形式
由于 $\sum_{i,j} i x_i x_j = (\sum_i i x_i)(\sum_j x_j)$，且 $\sum_{i,j} j x_i x_j = (\sum_i x_i)(\sum_j j x_j)$，两者相等。因此 $f = 2(\sum_i i x_i)(\sum_j x_j) - (\sum_i x_i)(\sum_j x_j)$。
公式：$f = 2\left(\sum_{i=1}^4 i x_i\right)\left(\sum_{j=1}^4 x_j\right) - \left(\sum_{i=1}^4 x_i\right)^2$
提示：注意两个求和项相等，不要重复计算。
步骤 4/6
目标：合并为一次因式乘积形式
令 $S = \sum_{i=1}^4 x_i$，$T = \sum_{i=1}^4 i x_i$，则 $f = 2ST - S^2 = S(2T - S)$。而 $2T - S = \sum_{i=1}^4 (2i-1)x_i$，所以 $f = (x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1+3x_2+5x_3+7x_4)$。
公式：$f = \left(\sum_{i=1}^4 x_i\right)\left(\sum_{i=1}^4 (2i-1)x_i\right)$
提示：注意系数 $2i-1$ 是奇数序列。
步骤 5/6
目标：推广到n元二次型
对于n元情形，矩阵元素仍为 $a_{ij}=i+j-1$，类似地有 $f = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i+j-1)x_i x_j = 2(\sum i x_i)(\sum x_j) - (\sum x_i)^2 = (\sum x_i)(\sum (2i-1)x_i)$。
公式：$f = \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n (2i-1)x_i\right)$
提示：推导过程与4元完全类似，注意求和上限改为n。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，二次型可化为两个一次因式的乘积：(1) $f = (x_1+x_2+x_3+x_4)(x_1+3x_2+5x_3+7x_4)$；(2) $f = (x_1+x_2+\cdots+x_n)(x_1+3x_2+5x_3+\cdots+(2n-1)x_n)$。
提示：注意一次因式是线性形式，系数分别为1和奇数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。