📝 华南理工大学 2024年高等代数真题

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

2．（15 分）计算 $n$ 阶行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
a & a+b & \cdots & a+b & a+b \\
a-b & a & \cdots & a+b & a+b \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a-b & a-b & \cdots & a & a+b \\
a-b & a-b & \cdots & a-b & a
\end{array}\right| .
$$

3．（20 分）若 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组

$$
\text { (a) } A X=\beta \text {; (b) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text {. }
$$

（1）当（a）有解时，（b）有解吗？证明你的结论．
（2）当（a）无解时，（b）有解吗？证明你的结论．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

5．（20 分）解答如下问题：
（1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X / A X$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 5 & 6 & 7
\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}
\end{array}\right) .
$$

将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积．
（2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中

$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\
3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1
\end{array}\right) .
$$

6．（20分）设矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & -a-1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & a+2 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$

在复数域上不可对角化．
（1）求 $a$ 的值；
（2）对每个 $a$ ，求出 $A$ 的若尔当标准型．

7．（20 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足：
（1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ．
（2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ．
（3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ．
证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$

$$
(A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}
$$

证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．