华南理工大学 2024年高等代数第4题

设$A$为$m \times n$矩阵，$C$为$p \times q$矩阵，$B$为$r \times s$矩阵。由$AC=CB$知，左边$A$与$C$可乘，故$n=p$；右边$C$与$B$可乘，故$q=r$。乘积$AC$为$m \times q$矩阵，$CB$为$p \times s$矩阵，故$m=p$，$q=s$。于是$m=p=n$，$q=r=s$，即$A$为$m \times m$方阵，$B$为$q \times q$方阵。

设$A$为$m \times m$矩阵，$B$为$n \times n$矩阵，$C$为$m \times n$矩阵，且$AC=CB$，$r(C)=r$。考虑矩阵$\begin{pmatrix} \lambda I_m - A & C \\ 0 & \lambda I_n - B \end{pmatrix}$。由于$AC=CB$，有$C(\lambda I_n - B) = \lambda C - CB = \lambda C - AC = (\lambda I_m - A)C$。

由$C(\lambda I_n - B) = (\lambda I_m - A)C$，可对矩阵$\begin{pmatrix} \lambda I_m - A & C \\ 0 & \lambda I_n - B \end{pmatrix}$进行初等变换：将第一列乘以某个多项式后加到第二列，或利用分块矩阵的初等变换，得到$\begin{pmatrix} \lambda I_m - A & 0 \\ 0 & \lambda I_n - B \end{pmatrix}$。因此存在可逆多项式矩阵$P(\lambda), Q(\lambda)$使得$P(\lambda) \begin{pmatrix} \lambda I_m - A & C \\ 0 & \lambda I_n - B \end{pmatrix} Q(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda I_m - A & 0 \\ 0 & \lambda I_n - B \end{pmatrix}$。

由上述变换，$\lambda I_m - A$与$\lambda I_n - B$的不变因子相同（除常数因子外），从而它们的特征多项式$\det(\lambda I_m - A)$和$\det(\lambda I_n - B)$有相同的非常数不变因子，即存在公因式。但需进一步证明公因式的次数至少为$r$。

取$f(\lambda)$为$A$的特征多项式$\chi_A(\lambda)$，则$\chi_A(A)=0$。由$AC=CB$可得$\chi_A(A)C = C\chi_A(B)$，故$0 = C\chi_A(B)$。由于$r(C)=r$，存在可逆矩阵$P,Q$使得$C = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q$。代入得$P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q \chi_A(B) = 0$，即$\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q \chi_A(B) = 0$。设$Q \chi_A(B) = \begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\ X_{21} & X_{22} \end{pmatrix}$，则$\begin{pmatrix} X_{11} & X_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$，故$X_{11}=0, X_{12}=0$。因此$\chi_A(B)$的秩不超过$n-r$，从而$\chi_A(\lambda)$与$\chi_B(\lambda)$至少有$r$个相同的根（计重数），即特征多项式有$r$次公因式。