华南理工大学 2024年高等代数第3题
📝 题目
3．（20 分）若 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组
$$
\text { (a) } A X=\beta \text {; (b) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
1
\end{array}\right) \text {. }
$$
（1）当（a）有解时，（b）有解吗？证明你的结论．
（2）当（a）无解时，（b）有解吗？证明你的结论．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与符号含义
题目给出两个线性方程组：(a) $AX = \beta$，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\beta$ 是 $n$ 维列向量，$X$ 是 $m$ 维列向量；(b) $\begin{pmatrix} A' \\ \beta' \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $A'$ 是 $A$ 的转置（$n \times m$ 矩阵），$\beta'$ 是 $\beta$ 的转置（$1 \times n$ 行向量），因此系数矩阵是 $(n+1) \times m$ 矩阵，右端项是 $n+1$ 维列向量，前 $n$ 个分量为0，最后一个分量为1。
提示：注意 $A'$ 和 $\beta'$ 的维度：$A'$ 是 $n \times m$，$\beta'$ 是 $1 \times n$，所以整个系数矩阵是 $(n+1) \times m$。
步骤 2/6
目标：分析（a）有解时（b）的解的情况
假设（a）有解，即存在 $X_0$ 使得 $A X_0 = \beta$。考虑（b）的方程：$A' Y = 0$（前 $n$ 个方程）且 $\beta' Y = 1$（最后一个方程）。若（b）有解 $Y$，则 $A' Y = 0$ 且 $\beta' Y = 1$。由 $A X_0 = \beta$ 两边取转置得 $X_0' A' = \beta'$，于是 $\beta' Y = X_0' A' Y = X_0' \cdot 0 = 0$，与 $\beta' Y = 1$ 矛盾。因此（b）无解。
公式：$\beta' Y = (A X_0)' Y = X_0' A' Y = 0$
提示：关键步骤：利用转置将 $\beta'$ 表示为 $X_0' A'$，从而导出矛盾。注意 $X_0' A' Y$ 是数，且 $A'Y=0$。
步骤 3/6
目标：结论（1）
当（a）有解时，（b）无解。
步骤 4/6
目标：分析（a）无解时（b）的解情况
假设（a）无解，即 $\beta$ 不在 $A$ 的列空间 $\text{Col}(A)$ 中。考虑 $A$ 的列空间的正交补 $\text{Col}(A)^\perp = \{ y \in \mathbb{R}^n \mid A' y = 0 \}$。由于 $\beta \notin \text{Col}(A)$，$\beta$ 在正交补上的投影非零，即存在 $y_0 \neq 0$ 使得 $A' y_0 = 0$ 且 $\beta' y_0 \neq 0$。令 $Y = \frac{1}{\beta' y_0} y_0$，则 $A' Y = 0$ 且 $\beta' Y = 1$，因此 $Y$ 是（b）的解。所以（b）有解。
公式：$Y = \frac{1}{\beta' y_0} y_0$，其中 $A' y_0 = 0$，$\beta' y_0 \neq 0$
提示：需要利用线性代数中列空间与正交补的关系：$\beta$ 不在列空间中当且仅当存在非零向量与列空间正交且与 $\beta$ 内积非零。
步骤 5/6
目标：结论（2）
当（a）无解时，（b）有解。
步骤 6/6
目标：总结
综上所述：（1）当（a）有解时，（b）无解；（2）当（a）无解时，（b）有解。因此（a）与（b）的解的存在性恰好相反。
提示：注意：这里假设 $\beta$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，因此 $A'$ 是 $n \times m$，$\beta'$ 是 $1 \times n$。
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