华南理工大学 2024年高等代数第1题
📝 题目
1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设α是重根，写出条件
设 $\alpha$ 是 $f^2(x)+g^2(x)$ 的重根，则 $f^2(\alpha)+g^2(\alpha)=0$，且 $[f^2(x)+g^2(x)]'|_{x=\alpha}=0$。
公式：重根条件：$P(\alpha)=0$ 且 $P'(\alpha)=0$
提示：注意重根的定义：至少是二重根，即函数值和一阶导数值均为0。
步骤 2/6
目标：引入复数多项式简化问题
考虑多项式 $h(x)=f(x)+ig(x)$，则 $\overline{h(x)}=f(x)-ig(x)$，且 $f^2(x)+g^2(x)=h(x)\overline{h(x)}$。由于 $(f,g)=1$，$h$ 与 $\overline{h}$ 互素（无公共根）。
公式：$f^2+g^2 = h\overline{h}$
提示：互素条件保证 $h$ 与 $\overline{h}$ 没有公共根，否则 $f$ 和 $g$ 会有公共根。
步骤 3/6
目标：分析重根在h或共轭中的重数
因为 $\alpha$ 是 $h\overline{h}$ 的重根，且 $h$ 与 $\overline{h}$ 互素，所以 $\alpha$ 只能是 $h$ 或 $\overline{h}$ 的重根（重数至少为2）。不妨设 $\alpha$ 是 $h$ 的重根，则 $h(\alpha)=0$ 且 $h'(\alpha)=0$。
公式：若 $h$ 与 $\overline{h}$ 互素，则 $h\overline{h}$ 的重根必是 $h$ 或 $\overline{h}$ 的重根
提示：注意：若 $\alpha$ 是 $h$ 的 $k$ 重根，$\overline{h}$ 的 $l$ 重根，则 $\alpha$ 是 $h\overline{h}$ 的 $k+l$ 重根。由于互素，$k$ 和 $l$ 至少一个为0，而 $k+l\ge2$，故 $k\ge2$ 或 $l\ge2$。
步骤 4/6
目标：由h的重根条件得到f和g的关系
由 $h(\alpha)=0$ 得 $f(\alpha)+ig(\alpha)=0$，即 $f(\alpha)=g(\alpha)=0$。由 $h'(\alpha)=0$ 得 $f'(\alpha)+ig'(\alpha)=0$，即 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=0$。
公式：$h(\alpha)=0 \Rightarrow f(\alpha)=g(\alpha)=0$；$h'(\alpha)=0 \Rightarrow f'(\alpha)=g'(\alpha)=0$
提示：复数相等要求实部和虚部分别为零。
步骤 5/6
目标：代入目标多项式验证
将 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=0$ 代入 $[f'(x)]^2+[g'(x)]^2$，得 $[f'(\alpha)]^2+[g'(\alpha)]^2=0$，故 $\alpha$ 是 $[f']^2+[g']^2$ 的根。
公式：$[f'(\alpha)]^2+[g'(\alpha)]^2=0$
提示：注意：$[f']^2+[g']^2$ 的根定义为使该多项式为零的点。
步骤 6/6
目标：讨论另一种情况并总结
若 $\alpha$ 是 $\overline{h}$ 的重根，同理可得 $f(\alpha)=g(\alpha)=0$ 且 $f'(\alpha)=g'(\alpha)=0$，结论相同。因此，$f^2+g^2$ 的重根必是 $[f']^2+[g']^2$ 的根。
提示：两种情况对称，只需证明一种即可。
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