南京师范大学 2015年高等代数第8题

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由． $$ \begin{aligned} & A x=\lambda x \\ & \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\ & f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\ & g(\gamma)= \\ & {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\ & \hline x-g) x=0 \end{aligned} $$ ## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$ （－2）$\displaystyle -8+8-$ $$ \partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0 $$ 102. $$ \begin{aligned} & \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\ & \gamma^{2}+\gamma-1= \end{aligned} $$