南京师范大学 2020年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）证明高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定多项式并假设结论不成立
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ 和 $g(x) = b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \cdots + b_0$ 是两个本原多项式，即它们的系数互素（所有系数的最大公因数为1）。令 $h(x) = f(x)g(x) = c_{n+m} x^{n+m} + c_{n+m-1} x^{n+m-1} + \cdots + c_0$，其中 $c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j$。假设 $h(x)$ 不是本原的，则存在素数 $p$ 整除所有系数 $c_k$。
公式：c_k = \sum_{i+j=k} a_i b_j
提示：注意本原多项式的定义：所有系数的最大公因数为1。
步骤 2/6
目标：找出第一个不被p整除的系数
由于 $f(x)$ 是本原的，$p$ 不能整除所有 $a_i$，设 $a_r$ 是第一个不被 $p$ 整除的系数（即 $p \mid a_0, \dots, a_{r-1}$，但 $p \nmid a_r$）。同理，设 $b_s$ 是第一个不被 $p$ 整除的系数（即 $p \mid b_0, \dots, b_{s-1}$，但 $p \nmid b_s$）。
提示：注意“第一个”是指从常数项开始向高次项寻找。
步骤 3/6
目标：考虑乘积中特定项的系数
考虑 $h(x)$ 中 $x^{r+s}$ 的系数 $c_{r+s} = a_r b_s + \sum_{is} a_i b_j + \sum_{i>r, j
公式：c_{r+s} = a_r b_s + \sum_{is} a_i b_j + \sum_{i>r, j
提示：注意求和指标的范围：i+j=r+s。
步骤 4/6
目标：分析各项被p整除的情况
由于当 $i
提示：注意：当is时，a_i被p整除；当i>r且j
步骤 5/6
目标：导出矛盾
又因为 $p \mid c_{r+s}$，所以 $p \mid a_r b_s$。但 $p$ 是素数，且 $p \nmid a_r$，$p \nmid b_s$，矛盾。
提示：素数性质：若p整除乘积，则p至少整除其中一个因子。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $h(x)$ 的所有系数不能被任何素数整除，即 $h(x)$ 是本原多项式。故两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
提示：注意：本原多项式要求所有系数的最大公因数为1，即不存在素数整除所有系数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。