📝 南京师范大学 2020年高等代数真题

1．（20分，每小题 10 分）求如下行列式：
（1）$\displaystyle \left\
\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right\$ ；（2）$\displaystyle \left\
\begin{array}{cccc}x_{1}-m & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1} & x_{2}-m & \cdots & x_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}-m\end{array}\right\$ ．

2．（15 分）证明高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式．

3．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(1+t) x^{2}+4 x+k, g(x)=x^{3}+t x^{2}+k$ ．常数 $t$ 和 $k$为多少时，最大公因式 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 是 2 次多项式？

4．（15分）当常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足什么条件时，如下线性方程组有解？并在有解的条件下求出全部解（用特解和相应齐次线性方程组的基础解系表示） $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+3 x_{7}=1 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{5}-3 x_{6}+7 x_{7}=a \\ -3 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}+5 x_{4}+8 x_{6}-7 x_{7}=b \\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+5 x_{4}+5 x_{5}+5 x_{6}=c . \end{array}\right.$

5．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是存在矩阵 $\displaystyle T_{1}, T_{2}$ 使得 $\displaystyle A=T_{1} B, B=T_{2} A$ ．

6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵．
证明：（1）$\displaystyle \left\
\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\
=\
A\
\cdot\left\
D-C A^{-1} B\right\$ ；
（2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．

7．（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle M_{n}=\left(\frac{1-a_{i}^{n} a_{j}^{n}}{1-a_{i} a_{j}}\right)$ ，证明：当 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 互不相同时， $\displaystyle M_{n}$ 为正定矩阵。

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。

证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵．证明：存在正交矩阵 $U$ 使得 $\displaystyle U^{-1} A U$和 $\displaystyle U^{-1} B U$ 同时为对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．