南京师范大学 2020年高等代数第4题
📝 题目
4．（15分）当常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足什么条件时，如下线性方程组有解？并在有解的条件下求出全部解（用特解和相应齐次线性方程组的基础解系表示） $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+3 x_{7}=1 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{5}-3 x_{6}+7 x_{7}=a \\ -3 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}+5 x_{4}+8 x_{6}-7 x_{7}=b \\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+5 x_{4}+5 x_{5}+5 x_{6}=c . \end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成矩阵形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中系数矩阵 $A$ 和常数向量 $\mathbf{b}$ 分别为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 3 & 0 & 5 & -3 & 7 \\ -3 & -6 & -2 & 5 & 0 & 8 & -7 \\ -1 & -2 & 1 & 5 & 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 \\ a \\ b \\ c\end{pmatrix}.$$ 增广矩阵为 $(A\mid\mathbf{b})$。
提示：注意常数项列的位置，不要混淆。
步骤 2/7
目标：初等行变换化为行阶梯形
对增广矩阵进行初等行变换：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 3 & 0 & 5 & -3 & 7 & a \\ -3 & -6 & -2 & 5 & 0 & 8 & -7 & b \\ -1 & -2 & 1 & 5 & 5 & 5 & 0 & c \end{pmatrix}$$
$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$, $R_3 \leftarrow R_3 + 3R_1$, $R_4 \leftarrow R_4 + R_1$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & a-2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 2 & 2 & b+3 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 & 3 & 3 & c+1 \end{pmatrix}$$
$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$, $R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & a-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & b-a+5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & c-2a+5 \end{pmatrix}$$
$R_4 \leftarrow R_4 - R_3$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & a-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & b-a+5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c-a-b \end{pmatrix}$$
提示：行变换过程中注意符号和常数项的计算，避免算术错误。
步骤 3/7
目标：判断有解条件
方程组有解当且仅当增广矩阵的最后一行不出现矛盾，即 $c - a - b = 0$，所以有解条件为 $c = a + b$。
提示：注意最后一行全为0时，常数项也必须为0。
步骤 4/7
目标：化为行最简形
在有解条件下，继续行变换化为行最简形。$R_1 \leftarrow R_1 - R_2$, $R_2 \leftarrow R_2 - R_3$ 得：
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 & -2 & -3 & 2 & 3-a \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 2a-b-7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & b-a+5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：注意行最简形中主元列对应的变量。
步骤 5/7
目标：确定自由变量并写出特解
主元列对应变量 $x_1, x_3, x_6$，自由变量为 $x_2, x_4, x_5, x_7$。令自由变量全为0，得特解：
$$\mathbf{x}_p = \begin{pmatrix} 3-a \\ 0 \\ 2a-b-7 \\ 0 \\ 0 \\ b-a+5 \\ 0 \end{pmatrix}.$$
提示：特解是令自由变量为0得到的解。
步骤 6/7
目标：求齐次方程组的基础解系
齐次方程组对应行最简形中常数项全为0。分别令一个自由变量为1，其余为0，得到基础解系：
令 $x_2=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$；
令 $x_4=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$；
令 $x_5=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$；
令 $x_7=1$，得 $\boldsymbol{\xi}_4 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
提示：基础解系中每个向量对应一个自由变量，注意符号和系数。
步骤 7/7
目标：写出全部解
全部解为特解加上齐次解：
$$\mathbf{x} = \mathbf{x}_p + k_1\boldsymbol{\xi}_1 + k_2\boldsymbol{\xi}_2 + k_3\boldsymbol{\xi}_3 + k_4\boldsymbol{\xi}_4,$$ 其中 $k_1, k_2, k_3, k_4 \in \mathbb{R}$。
提示：注意自由参数是任意实数。
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