南京师范大学 2020年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是存在矩阵 $\displaystyle T_{1}, T_{2}$ 使得 $\displaystyle A=T_{1} B, B=T_{2} A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意与目标
题目要求证明：线性方程组 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解的充要条件是存在矩阵 $T_1, T_2$ 使得 $A=T_1B$ 且 $B=T_2A$。其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $s\times n$ 矩阵，数域为 $P$。
提示：注意矩阵维数：$A$ 和 $B$ 列数相同，行数可以不同。
步骤 2/5
目标：必要性：从同解推出行空间相等
设 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，记解空间为 $V = \{x\in P^n \mid Ax=0\} = \{x\in P^n \mid Bx=0\}$。考虑行空间 $\operatorname{row}(A)$ 和 $\operatorname{row}(B)$，它们分别是 $A$ 和 $B$ 的行向量生成的子空间。由于解空间是行空间的正交补，即 $V = \operatorname{row}(A)^\perp = \operatorname{row}(B)^\perp$，因此 $\operatorname{row}(A) = \operatorname{row}(B)$。
公式：$V = \operatorname{row}(A)^\perp = \operatorname{row}(B)^\perp$
提示：正交补的定义：$W^\perp = \{x \mid \forall w\in W, w^T x=0\}$。注意行空间是行向量的线性组合，解空间是列向量的零空间。
步骤 3/5
目标：必要性：由行空间相等推出线性表示
由于 $\operatorname{row}(A) = \operatorname{row}(B)$，$A$ 的每一行都属于 $\operatorname{row}(B)$，因此 $A$ 的每一行可由 $B$ 的行线性表示。即存在矩阵 $T_1$（$m\times s$）使得 $A = T_1 B$。同理，$B$ 的每一行可由 $A$ 的行线性表示，存在 $T_2$（$s\times m$）使得 $B = T_2 A$。
公式：$A = T_1 B,\quad B = T_2 A$
提示：注意 $T_1$ 的行数等于 $A$ 的行数，列数等于 $B$ 的行数；$T_2$ 类似。
步骤 4/5
目标：充分性：由线性表示推出同解
假设存在 $T_1, T_2$ 使得 $A = T_1 B$ 且 $B = T_2 A$。对于任意 $x\in P^n$：若 $Bx=0$，则 $Ax = T_1(Bx) = T_1 0 = 0$；若 $Ax=0$，则 $Bx = T_2(Ax) = T_2 0 = 0$。因此 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解。
公式：$Ax = T_1 Bx,\quad Bx = T_2 Ax$
提示：注意矩阵乘法的结合律：$T_1(Bx) = (T_1B)x = Ax$。
步骤 5/5
目标：总结结论
必要性已证：同解 $\Rightarrow$ 行空间相等 $\Rightarrow$ 存在 $T_1, T_2$。充分性已证：存在 $T_1, T_2$ $\Rightarrow$ 同解。因此命题成立。
提示：注意充要条件证明的两个方向要完整。
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