南京师范大学 2020年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(1+t) x^{2}+4 x+k, g(x)=x^{3}+t x^{2}+k$ ．常数 $t$ 和 $k$为多少时，最大公因式 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 是 2 次多项式？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算多项式差
计算 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的差：
$$f(x)-g(x)=[x^3+(1+t)x^2+4x+k]-[x^3+tx^2+k]=x^2+4x=x(x+4).$$
公式：f(x)-g(x)=x(x+4)
提示：注意合并同类项时符号不要出错。
步骤 2/5
目标：分析最大公因式的性质
设 $d(x)=(f(x),g(x))$，则 $d(x)$ 整除 $f(x)-g(x)=x(x+4)$。由于 $d(x)$ 是二次多项式，它必须整除 $x(x+4)$ 且次数为2，因此 $d(x)$ 只能是 $x(x+4)$ 的常数倍，不妨设 $d(x)=c\cdot x(x+4)$，其中 $c\neq0$。通常可取 $d(x)=x(x+4)$。
公式：d(x) | x(x+4), deg d = 2
提示：最大公因式可相差非零常数倍，因此可设为首一多项式或简单形式。
步骤 3/5
目标：利用根的条件得到方程
由于 $d(x)=x(x+4)$ 整除 $f(x)$ 和 $g(x)$，所以 $x=0$ 和 $x=-4$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的根。代入 $x=0$：
$$f(0)=k=0,\quad g(0)=k=0,$$
得 $k=0$。
公式：f(0)=k, g(0)=k
提示：代入根时注意计算准确。
步骤 4/5
目标：代入另一个根求解参数
代入 $x=-4$ 到 $f(x)$，并利用 $k=0$：
$$f(-4)=(-4)^3+(1+t)(-4)^2+4(-4)+k=-64+16(1+t)-16+0=-64+16+16t-16=16t-64.$$
令 $f(-4)=0$ 得 $16t-64=0$，解得 $t=4$。同样代入 $g(x)$ 验证：
$$g(-4)=(-4)^3+t(-4)^2+k=-64+16t+0=16t-64=0,$$
得 $t=4$。
公式：f(-4)=16t-64=0
提示：代入后化简要仔细，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：验证结果
当 $t=4$, $k=0$ 时，
$$f(x)=x^3+5x^2+4x=x(x+1)(x+4),$$
$$g(x)=x^3+4x^2=x^2(x+4).$$
最大公因式为 $x(x+4)$，是二次多项式，符合要求。
提示：验证时分解因式确认公因式次数。
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